¿Cómo puedo demostrar que existe tal medida?

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathscr{F},P)$ sea un espacio de probabilidad y $f:\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n$ sea una función medible tal que $\int_\Omega ||f|| dP < \infty$ .

Dejemos que $\{e_1,...,e_n\}$ sea la base ordenada estándar para $\mathbb{R}^n$ .

Entonces, ¿cómo demuestro que existe una medida $\mu:\mathscr{B}_\mathbb{R^n}\otimes \mathscr{B}_\mathbb{R^n} \rightarrow [0,\infty]$ tal que $\mu(A\times B)=\int_{\Omega} (\mathbb{1}_B\circ f)\cdot (\sum_{k=1}^n \mathbb{1}_{A}(e_k) f_k) dP$ ?

Definir $S:=\{A\times B:A,B\in \mathscr{B}_\mathbb{R^n}\}$ .

Intenté demostrar que $\mu$ es una medida previa en $S$ y luego aplicar el teorema de extensión de Caratheodory para adquirir la medida. Sin embargo, estoy atascado en demostrar que $\mu$ es una medida previa en $S$ .. (No puedo mostrar el $\sigma$ -aditividad)

¿Cómo puedo demostrar la existencia de $\mu$ ?

Answer 1

No estoy seguro de que mi argumento sea correcto, así que por favor que alguien compruebe si es correcto.

Definir $a(w,A):=(\mathbb{1}_{B}\circ f)(w)$ y $b(w,B):=\sum_{k=1}^n \mathbb{1}_A(e_k)f_k(w)$ para todos $w\in \Omega$ y $A,B\in\mathscr{B}_\mathbb{R^n}$ .

Dejemos que $\{A_i\times B_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ sea una secuencia mutuamente disjunta en $S$ tal que $\bigcup (A_i\times B_i) \in S$ . Por lo tanto, podemos escribirlo como $A'\times B'=\bigcup (A_i\times B_i)$

Arreglar $w\in \Omega$ .

Tenga en cuenta que $a(w,\cdot)$ y $b(w,\cdot)$ son medidas finitas. Sea $c$ sea su medida del producto.

Entonces $$a(w,A')b(w,B')=c(A'\times B')=\sum c(A_i\times B_i)=\sum a(w,A_i)b(w,B_i)$$ .

Y esto es válido para todos $w$ .

Así, $$\mu(A'\times B')=\int a(w,A')b(w,B') dP(w)= \int \sum a(w,A_i)b(w,B_i) dP(w) = \sum \int a(w,A_i)b(w,B_i) dP(w)= \sum \mu(A_i\times B_i)$$ .

Por lo tanto, obtenemos el $\sigma$ -adecuación de $\mu$ .