Si $X,Y \in L^1$ son v.r. independientes entonces $ XY \in L^1 $

Question

Dejemos que $X,Y \in L^1$ lo que significa que $\mathbb{E} \{|X|\}, \mathbb{E} \{|Y|\} < \infty $ . Quiero demostrar que $ XY \in L^1$ dado $X,Y $ son variables aleatorias independientes.

Desde $X,Y$ son independientes, entonces $|X|$ y $|Y|$ son también independientes y por lo tanto $\mathbb{E} \{ |X| |Y| \} = \mathbb{E} \{|X| \} \mathbb{E} \{ |Y| \} < \infty$ por hipotesis y así $XY \in L^1$ . ¿Es esto correcto?

si $X,Y$ no son independientes, ¿seguimos teniendo esa $XY \in L^1$ ?

Answer 1

Su solución es correcta.

Si no asumimos la independencia, entonces no es cierto. Por ejemplo, consideremos el espacio de probabilidad $(0,1]$ con medida de Lebesgue. Definir $X: (0,1] \to \mathbb{R}$ como $X(\omega)=\omega^{-\frac{1}{2}}$ . Entonces $X \in L^1$ pero $X^2=X \cdot X \notin L^1$ , ya que $X(\omega)^2=\frac{1}{\omega}$ tiene una integral infinita.