Tengo problemas para entender los límites superior e inferior.

Question

Tengo serios problemas para entender el significado de los límites superior e inferior. Puede alguien darme ejemplos y explicaciones fáciles de seguir para lo siguiente?

Def: Que $\{s_n\}$ sea una secuencia de números reales. Sea $E$ sea el conjunto de números $x$ tal que $s_{n_k} \to x$ para alguna subsecuencia $\{s_{n_k}\}$ . Este conjunto $E$ contiene todos los límites subsecuentes más posiblemente los números $+\infty$ y $-\infty$ .

Poner $s^* =\sup(E)$ y $s_* = \inf(E)$ Los llamamos límites superior e inferior. También utilizamos la notación $$\lim_{n \to \infty} \sup (s_n) = s^*$$ $$\lim_{n \to \infty} \inf (s_n) = s_*$$

Esto es lo que yo entiendo.

a), $\{s_n\}$ es una secuencia, y su subsecuencia (hay $\infty$ muchos patrones) $\{s_{n_k}\}$ tiene muchos límites diferentes. Por eso es posible tener un conjunto $E$ que puede contener más de un límite.

b), El límite de $\{s_n\}$ no es necesariamente el límite de todas las sucesiones de $\{s_n\}$ .

c), El número "mayor" $x$ en $E$ es el "límite superior". El análogo del límite inferior sería el "más pequeño".

Esto es lo que me confunde.

¿Qué hace $\sup (s_n)$ ¿quieren decir? ¿Por qué tenemos que tomar el límite como $n \to \infty$ para conseguir el supremum? ¿No es $\sup (s_n)$ ya el supremum de $E$ ?

Otra cosa, ¿no puede haber una subsecuencia de $\{s_n\}$ que tiene un punto límite mayor que el de $\{s_n\}$ ?

Puede que esté haciendo preguntas raras, pero eso es sólo porque esta idea todavía no encaja conmigo.

La razón por la que hago esta pregunta en primer lugar es, porque pensé que lo había entendido pero no pude udersender lo siguiente.

Considere la serie $$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3} + \cdots $$

Estaba trabajando en la prueba de la proporción y fallé miserablemente en la comprensión del texto.

Mi afirmación es que $$a_n = \frac{3^n+2^n}{6^n}$$ por lo que la prueba de proporción me daría $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} \left({\frac{3+2(\frac{2}{3})^n}{1+(\frac{2}{3})^n}}\right)$$

Pero el libro me dice que $$\lim_{n \to \infty} \inf {\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n$$ $$\lim_{n \to \infty} \sup{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{3}{2})^n$$ $$\lim_{n \to \infty} \inf{\sqrt[n]{a_n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{3^n}}$$ $$\lim_{n \to \infty} \sup {\sqrt[n]{a_n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{2^n}}$$

He pasado 4 horas tratando de entender esto, pero no tengo absolutamente ninguna idea de cómo y por qué estos números aparecieron. Especialmente las raíces "2n th" para la prueba de la raíz.

Estoy preguntando mucho, pero es que me está volviendo loco y necesito ayuda :P

Answer 1

¿Qué hace $\sup(s_n)$ ¿quieres decir?

En este contexto, creo que se refieren a $\sup_{k\geq n}(s_k)$ por lo que la expresión del límite superior es $\lim_{n\rightarrow \infty} \sup_{k\geq n}(s_k)$ . Ten en cuenta que puedes tener algunos números en tu secuencia mayores que el límite superior. De hecho, cada número de la secuencia puede ser mayor que el límite superior, tome la secuencia $\{\frac{1}{n}\}$ . Su límite superior es 0, pero todos los números de la secuencia son mayores que 0. Otra propiedad importante es que una secuencia converge en $\mathbb{R}$ si y sólo si los límites superior e inferior están en $\mathbb{R}$ y coinciden.

Edición: El supremum del conjunto $\{\frac{1}{n}\}$ es 1, pero el límite superior no es 1. Para calcular el límite superior, la idea es la siguiente. Tome su secuencia $\{s_n\}$ y formar una nueva secuencia, llamándola $\{t_n\}$ (todos ellos pueden ser infinitos). Definir $t_1$ para ser el sup de $\{s_1,s_2,s_3\ldots\}$ . Definir $t_2$ para ser el sup de $\{s_2,s_3,s_4\ldots\}$ . $t_3$ para ser el sup de $\{s_3,s_4,s_5\ldots\}$ . y así sucesivamente. Ahora comprueba que $\{t_n\}$ es una secuencia decreciente (estás desechando términos potencialmente mayores). Por lo tanto, tiene un límite (quizás infinito). Este límite es el límite superior.

Edición 2: Ahora el límite inferior. Comience con la secuencia dada $\{s_n\}$ . El límite inferior es $\lim_{n\rightarrow \infty}\inf_{k\geq n}(s_k)$ . Desenmascaremos esta definición como hicimos con el límite superior. Definamos una nueva secuencia de números $\{t_n\}$ (posiblemente incluyendo $-\infty$ ) de la siguiente manera. Definir $t_1$ para ser el inf de $\{s_1,s_2,s_3\ldots\}$ . Definir $t_2$ para ser el inf de $\{s_2,s_3,s_4\ldots\}$ . $t_3$ para ser el inf de $\{s_3,s_4,s_5\ldots\}$ . y así sucesivamente. Ahora comprueba que $\{t_n\}$ es un aumentando secuencia, y por lo tanto tiene un límite (posiblemente infinito). Este límite se llama límite inferior.

Answer 2

Parece que tu problema está en la notación. El límite superior se denota $\limsup\limits_{n\to\infty} s_n$ y no $\lim\limits_{n\to\infty} \sup s_n$ .

Así que es un símbolo $\limsup$ en lugar de dos símbolos $\lim$ y $\sup$ .

Y $\limsup\limits_{n\to\infty} s_n$ se define de la manera que usted describe. Pero también hay varias otras definiciones equivalentes de límite superior, ver aquí: Preguntas sobre los superiores jerárquicos .

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La serie de la segunda parte de su pregunta viene dada por \begin{align*} a_{2n-1}&=\frac1{2^n}\\ a_{2n}&=\frac1{3^n} \end{align*}

Esto significa que $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ es igual a $\left(\frac32\right)^k$ si $n=2k-1$ es impar y $\left(\frac23\right)^k$ si $n=2k$ está en paz.

Asimismo, $\sqrt[n]{a_n}$ es igual a $\sqrt[2k-1]{\frac1{2^k}}$ si $n=2k-1$ y $\sqrt[2k]{\frac1{3^k}}$ si $n=2k$ .

Answer 3

Para la serie $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \cdots$$ vemos que la forma de $n^{\text{th}}$ depende del hecho de que $n$ es impar o par y el verdadero reto (o fuente de confusión) es escribir la fórmula para $a_{n}$ en términos de $n$ . Supongamos que la serie comienza con $n = 1$ (Valor impar). Así, si $a_{n}$ es el $n^{\text{th}}$ término entonces $$a_{n} = \frac{1}{2^{(n + 1)/2}} \text{ if }n \text{ is odd and }a_{n} = \frac{1}{3^{n/2}} \text{ if }n\text{ is even}$$ Además, su libro de texto trata de aplicar aquí tanto la prueba de la razón como la de la raíz. Para la prueba de la raíz podemos ver que $$\sqrt[n]{a_{n}} = 2^{-(n + 1)/(2n)}$$ si $n$ es impar y $$\sqrt[n]{a_{n}} = 3^{-1/2}$$ si $n$ es uniforme. Ahora es obvio que $$\liminf \sqrt[n]{a_{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \limsup \sqrt[n]{a_{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ y por lo tanto la serie converge por la prueba de raíz.

Para la prueba de la proporción podemos ver que $$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{2^{(n + 1)/2}}{3^{(n + 1)/2}}$$ si $n$ es impar y $$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3^{n/2}}{2^{(n + 2)/2}}$$ si $n$ es incluso para que $$\liminf \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 0,\,\limsup \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \infty$$ y por lo tanto la prueba de la proporción falla.