Demostrando que para cada dos parábolas, existe una transformación que lleva una a la otra

Question

Vamos a $p_1, p_2$ sean dos prabolas en el plano. Demostrar que existe una transformación $T:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$ , $T(\vec x)=A \vec x+\vec b$ , $A$ siendo una multiplicación de matrices escalares y ortogonales y $\vec b, \vec x \in \mathbb R^2$ , tomando $p_1$ a $p_2$ .

No tengo ni idea de cómo probar esto realmente... ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Ten en cuenta en todo momento que una parábola está definida por su enfoque y directriz .

Conceptualmente, es sólo una cuestión de traducir $p_1$ para que su vértice esté en el origen, girándolo para que esté alineado con $p_2$ y luego realizar una dilatación que cambie el espacio entre su foco y la directriz para que coincida con el espacio de $p_2$ y luego traducirlo todo en $p_2$ .

Así es la transformación:

$x\mapsto x+t_1\mapsto R(x+t_1)\mapsto DR(x+t_1)\mapsto DR(x+t_1)+t_2=DR(x)+DR(t_1)+t_2$

Los dos términos correctos son su $\vec{b}$ y el $DR$ es su $A$ . Ahora sólo tienes que calcular cada componente :)

Answer 2

Se afirma que una parametrización de la parábola general bidimensional viene dada por: $$ x(t) = \frac{1}{2} a_x.t^2 + v_x.t + s_x \\ y(t) = \frac{1}{2} a_y.t^2 + v_y.t + s_y $$ Sea la parábola $p_1$ . Y que la transformación lineal propuesta venga dada por: $$ \left[\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} b_x \\ b_y \end{array}\right] $$ Dando: $$ x' = a_{11}\left[ \frac{1}{2} a_x t^2 + v_x t + s_x \right] + a_{12}\left[ \frac{1}{2} a_y t^2 + v_y t + s_y \right] + b_x\\ y' = a_{21}\left[ \frac{1}{2} a_x t^2 + v_x t + s_x \right] + a_{22}\left[ \frac{1}{2} a_y t^2 + v_y t + s_y \right] + b_y $$ O: $$ x' = \frac{1}{2} \left[ a_{11} a_x + a_{12} a_y \right] t^2 + \left[ a_{11} v_x + a_{12} v_y \right] t + \left[ a_{11} s_x + a_{12} s_y + b_x \right] \\ y' = \frac{1}{2} \left[ a_{21} a_x + a_{22} a_y \right] t^2 + \left[ a_{21} v_x + a_{22} v_y \right] t + \left[ a_{21} s_x + a_{22} s_y + b_y \right] $$ O: $$ x' = \frac{1}{2} a'_x t^2 + v'_x t + s'_x \\ y' = \frac{1}{2} a'_y t^2 + v'_y t + s'_y $$ Sea la parábola $p_2$ . Entonces tenemos: $$ a_x a_{11} + a_y a_{12} = a'_x \\ v_x a_{11} + v_y a_{12} = v'_x \\ a_x a_{21} + a_y a_{22} = a'_y \\ v_x a_{21} + v_y a_{22} = v'_y \\ $$ A partir de ellos se pueden resolver los coeficientes de la matriz: $$ a_{11} = \frac{v_y a'_x - a_y v'_x}{a_x v_y - v_x a_y} \\ a_{12} = \frac{a_x v'_x - v_x a'_x}{a_x v_y - v_x a_y} \\ a_{21} = \frac{v_y a'_y - a_y v'_y}{a_x v_y - v_x a_y} \\ a_{22} = \frac{a_x v'_y - v_x a'_y}{a_x v_y - v_x a_y} $$ Siempre que los denominadores $(a_x v_y - v_x a_y)$ son distintos de cero, lo que significa que las parábolas no están degeneradas, es decir, no son rectas. Entonces, por fin, el vector de desplazamiento se encuentra por: $$ b_x = s'_x - \left[a_{11} s_x + a_{12} s_y\right] \\ b_y = s'_y - \left[a_{21} s_x + a_{22} s_y\right] $$ En el artículo Curvas parabólicas se muestra cómo eliminar el parámetro $t$ para obtener una representación más familiar de las parábolas.

Extra. Empecemos de nuevo con la parametrización anterior, escrita como $$ x - s_x = v_x \cdot t + a_x \cdot \frac{1}{2} t^2 \\ y - s_y = v_y \cdot t + a_y \cdot \frac{1}{2} t^2 $$ Ahora ponlo: $$ \xi = t \quad ; \quad \eta = \frac{1}{2} t^2 \quad \Longrightarrow \quad \eta = \frac{1}{2} \xi^2 $$ Y: $$ x - s_x = v_x \, \xi + a_x \, \eta \\ y - s_y = v_y \, \xi + a_y \, \eta $$ Dos ecuaciones con dos incógnitas: $$ \xi = \frac{+ a_y (x-s_x) - a_x (y-s_y)}{v_x a_y - v_y a_x} \qquad ; \qquad \eta = \frac{- v_y (x-s_x) + v_x (y-s_y)}{v_x a_y - v_y a_x} $$ Sustituir en la "parábola normalizada" $\;\eta = \frac{1}{2} \xi^2\;$ o $\;\frac{1}{2} \xi^2 - \eta = 0$ : $$ \frac{1}{2} \left[ \frac{a_y (x-s_x) - a_x (y-s_y)}{a_y v_x - a_x v_y} \right]^2 + \left[ \frac{v_y (x-s_x) - v_x (y-s_y)}{a_y v_x - a_x v_y} \right] = 0 $$ Que es la ecuación de una parábola arbitraria en $x$ y $y$ solo.

Actualización. Pero, si leo bien la pregunta, se requiere que la transformación tomando la parábola $p_1$ en $p_2$ se representa con un escalar por un ortogonal matriz. Esto es más fácil de lograr por un cambio de parámetros en: $$ x(t) = \frac{1}{2} a_x.t^2 + v_x.t + s_x \\ y(t) = \frac{1}{2} a_y.t^2 + v_y.t + s_y $$ Como sigue: $$ \overline{x}(t) = \frac{1}{2} a_x(t-\tau)^2 + v_x(t-\tau) + s_x \\ \overline{y}(t) = \frac{1}{2} a_y(t-\tau)^2 + v_y(t-\tau) + s_y $$ $$ \overline{x}(t) = \frac{1}{2} a_x.t^2+\left(v_x-a_x.\tau\right)\,t +\left(\frac{1}{2}a_x.\tau^2-v_x.\tau+s_x\right) \\ \overline{y}(t) = \frac{1}{2} a_y.t^2+\left(v_y-a_y.\tau\right)\,t +\left(\frac{1}{2}a_y.\tau^2-v_y.\tau+s_y\right) $$ $$ \overline{x}(t) = \frac{1}{2} a_x.t^2 + \overline{v}_x.t + \overline{s}_x \\ \overline{y}(t) = \frac{1}{2} a_y.t^2 + \overline{v}_y.t + \overline{s}_y $$ Ahora siempre es posible elegir $\tau$ de tal manera que $(\overline{v}_x,\overline{v}_y)$ es perpendicular a $(a_x,a_y)$ : $$ a_x.\left(v_x-a_x.\tau\right) + a_y \left(v_y-a_y.\tau\right) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \tau = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{a^2_x + a^2_y} $$ Esto significa que los sistemas de coordenadas locales $(\vec{v},\vec{a})$ de nuestras parábolas se han convertido en ortogonales. Y una transformación que lleva un sistema de coordenadas ortogonal a otro sistema de coordenadas ortogonal es en sí misma ortogonal (aparte de algún escalar eventualmente).

Answer 3

Como @rschwieb menciona sabemos que una parábola está definida por su foco y su directriz .

Asociar con parábola $p_i$ el (único) triángulo equilátero $T_i$ con un vértice en el foco de $p_i$ y los otros vértices en la directriz de $p_i$ . Claramente, existe una transformación de la forma deseada que mueve $T_1$ en $T_2$ .

(Si lo prefiere, sustituya "triángulo equilátero $T_i$ " con, por ejemplo, "triángulo rectángulo isósceles $T_i$ " con ángulo recto en el foco, para establecer un biyección entre parábolas $p$ y los triángulos asociados $T$ . Romper la simetría rotacional de los triángulos puede hacer que sea un poco más fácil ver que se puede conseguir $T_1$ y $T_2$ para alinear foco a foco y directriz a directriz).