Inversa de un bloque de la matriz

Question

Tengo un caso especial donde $X=\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & 0 \end{array}\right)$ y:

1. $X$ es no-singular

2. $A$ es singular

3. $B$ es el total de la columna de rango

4. $C$ es de una fila completa de rango

¿Cómo se calcula el $X^{-1}$ en este caso?

$A\in R^{n\times n}$ , $B\in R^{n\times m}$ , $C\in R^{m\times n}$ y $D\in 0^{m\times m}$

Por ejemplo: $$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$

Answer 1

Si usted está buscando una forma cerrada de la fórmula en términos de$A,B$$C$, soy muy escéptico acerca de su utilidad. Sin embargo, eso no quiere decir que no hay uno: desde $X$ es invertible, $$X^{-1} = (X^TX)^{-1}X^T =\begin{bmatrix}A^TA+C^TC & A^TB\\ B^TA & B^TB\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}A^T & C^T\\ B^T & 0\end{bmatrix}.$$ Como $B$ total columna de rango, $B^TB$ es invertible. Por lo tanto, se puede utilizar la fórmula para el complemento de Schur para calcular la inversa de la del bloque de matriz en el lado derecho de arriba, y el resultado es $$X^{-1}= \begin{bmatrix} S^{-1} & -S^{-1} A^TB (B^TB)^{-1} \\ -(B^TB)^{-1} B^TA S^{-1} & (B^TB)^{-1} + (B^TB)^{-1} B^TA S^{-1} A^TB (B^TB)^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A^T & C^T\\ B^T & 0\end{bmatrix},$$ donde $S=A^TA+C^TC-A^TB(B^TB)^{-1}B^TA$.