Un poco menos crudo y un poco más automatizado que la respuesta de @Erik: Al igual que la respuesta de Erik, utiliza un CRS UTM en metros (suponiendo que esas sean las unidades para tus distancias).
Exporte su shapefile como csv. En Opciones de capa->Geometría, seleccione AS_XY. En Layer_Options->Create_CSVT seleccione sí. Luego guarde. Abra el archivo csv resultante en su programa de hoja de cálculo de elección (por ejemplo, Excel). Usando la trigonometría como sugiere Erik (aunque era el 10º grado en mi instituto en los años 60), calcula los nuevos valores X e Y.
Si ya no te importa el punto de observación, mueve las nuevas cols X,Y sobre las cols XY originales y guarda.
Si le interesa conservar el punto de observación, tendrá que editar el archivo csvt. Este es un simple archivo de texto que describe el tipo de datos para cada columna y debería ser bastante obvio qué introducir para sus nuevas columnas. Establezca las columnas del punto de observación original en el tipo Real.
Ahora abre el archivo csv en Qgis y asegúrate de que está leyendo la geometría de las columnas que quieres.