Afirmación: Dada la EDO $\dot x = f(x)$ , $f$ es localmente lipschitz, entonces $x$ debe ser localmente lipschitz también

Question

¿Puede alguien probar o refutar la afirmación?

Dado un campo vectorial localmente lipschitz $f$ con la EDO asociada $\dot x = f(x)$ , entonces la solución $x$ debe ser localmente lipschitz

Nota: local condición de lipschitz:

$\exists r, L$ s.t. $\forall x,y, |x - x_o | < r, |y - y_o| < r \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq L |x-y|$

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He probado algunos ejemplos:

$\dot x = 1 \Rightarrow x = t$ . Entonces $f$ es localmente lipschitz (de hecho, globalmente), y $x$ es localmente lipschitz

$\dot x = x \Rightarrow x = x_o \exp(t)$ . $f$ es localmente lipschitz (pero no globalmente), y $x$ es localmente lipschitz (ya que $ x \in C^1$ )

$\dot x = x^2$ y los altos cargos están demasiado involucrados...

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Si la afirmación es válida, ¿lo es también para los campos vectoriales globales de lipschitz globales?

Answer 1

$x$ es diferenciable, por lo tanto continua; $f$ es localmente Lipschitz, por lo tanto continua. Por lo tanto $\dot{x} = f(x)$ es continua, es decir $x$ es continuamente diferenciable. Las funciones continuamente diferenciables son localmente Lipschitz.