la integrabilidad de Riemann de la función inversa

Question

Si $f \colon [a,b] \rightarrow [c,d]$ es un bijection, $f\in \mathcal{R}$ $f^{-1}$ existe, a continuación, probar o refutar que $f^{-1} \in \mathcal{R} [c,d]$.

Nota: he intentado utilizar la integración por partes para encontrar $\int_{c}^{d} f^{-1}$ y para probar que era el derecho de límite de suma de Riemann, pero no pudo. Pero creo que esta idea puede ser útil.

Answer 1

Deje $C\subset[0,1]$ ser el medio tercios conjunto de Cantor, y deje $D\subset[0,1]$ ser una grasa conjunto de Cantor. Definir $f:[0,1]\to[0,1]$ tal que $f\vert_C$ es un fin de preservar homeomorphism de $C$ a $D$ (mediante la asignación de los correspondientes a los extremos de la quita de intervalos), y $f\vert_{[0,1]\setminus C}$ es un fin de revertir homeomorphism de $[0,1]\setminus C$ a $[0,1]\setminus D$ (de la asignación linealmente a la correspondiente quita intervalos y luego componer con $x\mapsto 1-x$). A continuación, $f$ es discontinua en cada punto de $C$ y continua en cada punto de $[0,1]\setminus C$. Desde $C$ tiene medida cero, $f$ es Riemann integrable. Por otro lado, $f^{-1}$ es discontinua en cada punto de $D$, por lo que no es Riemann integrable.

Si usted no quiere apelar a la Lebesgue criterio de integrabilidad de Riemann, usted podría trabajar explícitamente con las sumas de Riemann de $f$$f^{-1}$. En el caso de $f$, se puede elegir particiones de que la contribución de los intervalos que contienen puntos de $C$ es arbitrariamente pequeño. En el caso de $f^{-1}$, los valores de $f^{-1}$ $D\cap[\frac{1}{2},1]$ al menos $\frac{2}{3}$ y los valores de $f^{-1}$ $[\frac{1}{2},1]\setminus D$ son en la mayoría de las $\frac{1}{2}$. Cada intervalo contiene puntos de a $[0,1]\setminus D$, por lo que la diferencia entre la parte superior e inferior de las sumas siempre será, al menos,$(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}m(D))\gt 0$.