Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función tal que $$f\big(f(x)\big)=\big(f(x)+1\big)x$$ para todos los reales $x$ , $f(-1)=0$ y $f(0)=-1$ .
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Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función tal que
$f(f(x))=(f(x)+1)x$ para todos los reales $x$ y $f(-1)=0$ ; $f(0)=-1$
Solución:
Primero demostramos que $ f $ es inyectiva en todas partes donde $ f(x) \neq -1 $ :
Supongamos: $ f(a)=f(b) \implies (f(a)+1)a = f(f(a)) = f(f(b)) = (f(b)+1)b = (f(a)+1)b \implies a=b \lor f(a)=f(b)=-1 \implies $
$ f(x) $ es inyectiva en todas partes donde $ f(x) \neq -1 $ .
La solución más sencilla es:
$$ x \in \mathbb{R}\backslash \{-1\} : f(x)=-1 \\ x=-1 : f(x)=0 \tag{1} $$
Actualización 16/01/2017:
La cuestión era encontrar todas esas funciones.
Ciertamente $(1)$ no es la única solución. Hay infinitas otras. Pero no creo que sea posible describir todas las soluciones de forma sistemática por dos razones:
A) No hay requisitos de continuidad. Por lo tanto, los valores de $ f(x) $ puede ser elegido más o menos arbitrariamente para valores específicos de $ x $ .
B) La ecuación funcional dada anteriormente no conecta los valores con otras regiones del dominio de forma continua.
Como ejemplo:
Elija $ f(1)=2 $ . Esto implica que $ f(f(1)) = f(2) = 3 , f(3) = 8 , f(8)=27 $ etc.
Una solución obtenida de esta manera se convierte en:
$$ x \in \mathbb{R}\backslash \{-1,1,2,3,8,27,....\} : f(x)=-1 \\ x =-1 : f(x)=0\\ x =1 : f(x)=2\\ x =2 : f(x)=3\\ etc. \enspace etc. $$
Por supuesto, podemos elegir muchas más de estas secuencias "aisladas", combinarlas e "integrarlas" en la solución "base". $ (1) $ .
Lo único que tenemos que comprobar al combinar diferentes secuencias es que la función sigue siendo monovalente e inyectiva.
Yves Daoust
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Si eso ayuda :
Dejemos que $x_n$ denotan el $n^{th}$ iteración de la función $f$ . Tenemos la recurrencia
$$x_0=x,\\x_{n+2}=(x_{n+1}+1)x_n.$$
Para los grandes $x_{n+1}$ podemos despreciar el término $+1$ y, tomando el logaritmo, obtenemos una recurrencia tipo Fibonacci:
$$\log x_{n+2}=\log x_{n+1}+\log x_n.$$
Por lo tanto, los iterados son asintóticos a $a^{F_n}$ para algunos $a$ y
$$f(x)\to x^\phi.$$
