Espero que esta pregunta sea apropiada aquí. Estoy interesado en la demostración del teorema nombrado sólo usando formas modulares. He leído en Wikipedia que la prueba se reduce a una identidad para la serie theta en el subgrupo de congruencia $\Gamma_1(4)$ y el peso $k=2$ . Tengo que decir que sólo sé algunas cosas básicas acerca de las formas modulares y sólo muy poco o nada acerca de la serie theta en este punto. También quiero preguntar si se necesita la serie de Lambert para esta prueba. Agradecería cualquier ayuda. Y tal vez usted sabe una buena fuente para una prueba utilizando este método.
Respuestas
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Esto se detalla en las páginas 11 y 95 del libro de Diamond y Shurman.
Dejemos que $\vartheta(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2i \pi n^2 z}$ y $r_4(n) = \# \{v \in \mathbb{Z},n = \sum_{j=1}^4 v_j^2 \}$ y $f(z) = \sum_{n=1}^\infty r_4(n)e^{2i \pi n z}$ . Entonces $$\vartheta(z)^4 = f(z)$$
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Utilizando la fórmula de Poisson demostrar que $\vartheta(z)$ es modular de peso $1/2$ para $\Gamma_0(4)$ y junto con el hecho de que $\vartheta(z)^4$ es holomorfo en la cúspide, se obtiene que $f(z) \in M_2(\Gamma_0(4))$ el espacio vectorial de las formas modulares de peso $2$ para $\Gamma_0(4)$ .
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Además $G_{2,2}(z) = G_2(z) - 2 G_2(2z)$ y $G_{2,4}(z) = G_2(z) - 4 G_2(4z)$ son linealmente independientes y están en $M_2(\Gamma_0(4))$
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El Teorema de Riemann-Roch aplicado a la superficie compacta de Riemann $X(\Gamma_0(4))$ que es $Y(\Gamma_0(4))=\mathcal{H}\setminus \Gamma_0(4)$ compactado con las cúspides añadidas, dan $\text{dim}(M_2(\Gamma_0(4))=2$ .
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Y por lo tanto $f(z) = \alpha G_{2,2}(z)+\beta G_{2,4}(z)$ para algunos $\alpha,\beta \in \mathbb{C}$ . El cálculo de los primeros coeficientes da como resultado $\alpha = 0,\beta=\frac{-1}{\pi^2}$ es decir, con la expansión de Fourier de $G_k(z) = 1+C_k\sum_{n=1}^\infty e^{2i \pi n z} \sum_{d |n} d^{k-1}$ : $$r_4(n) = 8 \sum_{d | n, 4 \nmid d} d$$
ramanujan_dirac
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