Problema de Wald 11.4

Question

Consideremos una solución estacionaria con tensión-energía $T_{ab}$ en el contexto de la gravedad linealizada. Elegir un sistema de coordenadas inerciales global para la métrica plana $\eta_{ab}$ para que la "dirección del tiempo" $(\frac{\partial }{\partial t})^{a}$ de este sistema de coordenadas coincide con el campo vectorial de matanza en el tiempo $\xi^{a}$ al orden cero.

(a) Demuestre que la ecuación de conservación, $\partial^{a}T_{ab} = 0$ implica $\int _{\Sigma}T_{i\nu} d^{3}x = 0$ donde $i = 1,2,3$ , $\nu = 0,1,2,3$ y $\Sigma$ es un $t = \text{constant}$ hipersuperficie (por lo tanto, tiene una normal unitaria que apunta hacia el futuro) $n^{\mu} = \delta ^{\mu}_{t}$ ).

(también hay una parte b, pero es trivial dado el resultado de la parte a, así que no creo que sea necesario enumerarla aquí)

Estoy muy perdido en cuanto a dónde empezar para esta pregunta. Normalmente, para este tipo de problemas, se toma la ecuación de conservación local $\partial^{a}T_{ab} = 0$ y utilizar el teorema de la divergencia de alguna manera, pero eso no parece ser de ninguna utilidad aquí dada la forma de $\int _{\Sigma}T_{i\nu} d^{3}x = 0$ (no es la integral de superficie de un campo vectorial sobre la frontera de algo ni es la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial sobre algo - es sólo la integral sobre $\Sigma$ de un campo escalar $T_{i\nu}$ para cada fijo $i,\nu$ ). Lo único que he podido anotar que puede ser de utilidad es que como las ecuaciones de campo linealizadas son $\partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\gamma_{\mu\nu} = -16\pi T_{\mu\nu}$ tenemos que $\partial^{t}\partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\gamma_{\mu\nu} = \partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\partial^{t}\gamma_{\mu\nu} = 0 = \partial^{t}T_{\mu\nu}$ donde he utilizado el hecho de que en este sistema global de coordenadas inerciales con campo de muerte estacionario $\xi^{a} = (\frac{\partial }{\partial t})^{a}$ la perturbación no puede tener ninguna dependencia temporal. Esto reduce entonces la ecuación de conservación a $\partial^{\mu}T_{\mu\nu} = \partial^{i}T_{i\nu} = 0$ donde de nuevo $i=1,2,3$ . Sin embargo, no he podido avanzar mucho desde aquí. Realmente agradecería cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

En efecto, la solución puede obtenerse haciendo uso del teorema de la divergencia, que relaciona la integral sobre un $n$ -a la superficie sobre un $(n-1)$ -de las dimensiones. Además, también se puede aplicar a los tensores. Para su problema, esto significa que podemos escribir la igualdad

$$\int_V\partial^\mu T_{\mu\nu}\,d^4x=\int_\Sigma n^\mu T_{\mu\nu}d^3x,$$

donde tomamos $V$ para ser el volumen cuatridimensional. Como el vector $n^\mu$ es un vector normal unitario a la superficie de constante $t$ se puede ver su contracción con el tensor como una proyección sobre las coordenadas restantes, eliminando esencialmente el componente cero. Por lo tanto, podemos reescribir la igualdad como

$$\int_V\partial^\mu T_{\mu\nu}\,d^4x=\int_\Sigma T_{i\nu}\, d^3x. $$

Como el integrando del lado izquierdo desaparece, el lado derecho también desaparece.