Es $\exp:\overline{\mathbb{M}}_n\to\mathbb{M}_n$ ¿Inyectiva?

Question

Más específicamente para mi problema, se trata de una variación de Es $\exp:\mathbb{M_n}\to\mathbb{M_n}$ ¿Inyectiva? que fue rápidamente contestado con un contraejemplo.

Dejemos que $\mathbb{M}_n$ sea el espacio de $n\times n$ matrices con entradas reales.

Dejemos que $\overline{\mathbb{M}}_n$ sea el espacio del cuadrado $n\times n$ matrices con entradas $0$ y $1$ .

Para cualquier $M\in\overline{\mathbb{M}}_n$ tenemos $$e^M=\exp(M)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}M^k.$$

Es $\exp:\overline{\mathbb{M}}_n\to\mathbb{M}_n$ ¿Inyectiva?

En otras palabras, ¿hay dos tipos de $M_0,M_1\in \overline{\mathbb{M}}_n$ tal que $e^{M_0}=e^{M_1}$ ?

Ya que para los fijos $n$ el espacio $\overline{\mathbb{M}}_n$ es finito podemos comprobarlo manualmente -- es inyectivo para $n\le4$ pero no he sido capaz de convencerme a mí mismo para que sea arbitrario $n$ .

Para $n=4$ hay $2^{n^2}=65536$ matrices para comprobar, y el sistema de MATLAB expm y mi código de construcción de matrices escrito apresuradamente tardó media hora en completarse. Para $n=5$ tenemos $2^{25}>3.3\cdot 10^7$ matrices para probar, lo que llevaría diez días de trabajo. En el caso de las grandes $n$ una prueba directa no es posible.

Los ejemplos no triviales más pequeños de mi problema son $n=6$ y las más interesantes son $n=12$ y más grande.

Answer 1

Proposición: Sea $E=\{A\in M_n(\mathbb{C})|A\text{ has algebraic entries }\}$ . Entonces el mapa exponencial es inyectivo en $E$ .

Prueba: Supongamos que $e^A=e^B$ . Aquí $A,B$ tienen entradas algebraicas ; según "Wermuth, 2 observaciones sobre exponenciales matriciales" (en libre acceso) http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379589905545 $AB=BA$ . Así, $A,B$ son simultáneamente triangulables sobre $\mathbb{C}$ con diagonales $(\lambda_j)_j,(\mu_j)_j$ . Necesariamente $e^{\lambda_j}=e^{\mu_j}$ Es decir $\lambda_j=\mu_j+2k_j\pi$ . $\lambda_j$ y $\mu_j$ son números algebraicos, eso implica $k_j=0$ y por lo tanto $\lambda_j=\mu_j$ .

$A$ es similar sobre $\mathbb{C}$ a una matriz de la forma $A_1=diag(\lambda_1I_{i_1}+N_1,\cdots)$ donde el $\lambda_j$ son distintos y el $N_j$ son nilpotentes.

EDIT: Ya que $AB=BA$ , $B_1$ es de la forma $B_1=diag(U_1,\cdots)$ con $U_jN_j=N_jU_j$ . T $e^{U_j}=e^{\lambda_j}e^{N_j}$ implican que $U_j$ tiene un único valor propio $\lambda_j$ . Entonces $B_1=diag(\lambda_1 I_{i_1}+ M_1,\cdots)$ con $M_j$ nilpotente y $N_jM_j=M_jN_j$ ;

en particular, $M_j-N_j$ es nilpotente. Además $e^{\lambda_jI_{i_j}+N_j}=e^{\lambda_jI_{i_j}+M_j}$ Es decir $e^{N_j-M_j}=I_{i_j}$ . El mapa exponencial es un isomorfismo entre matrices nilpotentes y unipotentes ; entonces $N_j-M_j=0$ , $A_1=B_1$ y finalmente $A=B$ .