Puntos extremos de una función no diferenciable.

Question

Digamos que tengo una función $f\left(x\right)=\left|\frac{x^{2}-2}{x^{2}-1}\right|$ . Tengo que encontrar los mínimos/máximos locales de la función. La cuestión es que esta función es indiferenciable en $x=\pm\sqrt{2},\pm1$ . Cuando intento liberarme del módulo, acabo obteniendo una función a trozos. ¿Cómo puedo encontrar los puntos extremos en este caso (no quiero ir por el método de la gráfica)? Porque, seguro que puedo encontrar los puntos críticos, que en este caso es $x=\pm\sqrt{2},\pm1,\ 0$ . Pero cómo puedo utilizar la prueba de la primera derivada para comprobar si estos puntos son realmente extremos o no.

Así que, básicamente, mi pregunta es cómo podemos encontrar los mínimos/máximos locales sin ningún método gráfico.

Cualquier sugerencia o planteamiento es bienvenido.

No quiero la respuesta de esta pregunta en particular, sólo quiero saber el concepto/método.

Answer 1

Respuesta final: (para resumir)

1. En general, si tenemos una función de la forma f(x)=|g(x)|, entonces se puede observar que f(x)0 para todo x en el dominio. Además, si hay puntos en los que g(x) es cero, entonces deben ser mínimos globales de la función f. ( PUNTO ÚTIL A RECORDAR )

2. Si se sabe que una función f:UR para U abierta tiene una singularidad en un punto, entonces limxp|f(x)|=, Esto significa que es seguro que f no tiene ni mínimo ni máximo global.

3. Si todavía hay algún otro punto crítico, basta con utilizar la definición fundamental que $f\left(c^{-}\right)>f\left(c\right)\ and\ f\left(c^{+}\right)>f\left(c\right)$ para los mínimos y así podemos hacer para los máximos. Esto también se puede utilizar en una función a trozos en el punto en el que cambia la definición, para encontrar si es un extremo o no.

No es un método rígido y dependiendo de las preguntas, las cosas pueden cambiar, no se puede decir nada con exactitud. La mejor manera de resolver estas preguntas es el enfoque gráfico siempre que sea posible.