Ideales de la teoría de los anillos

Question

Si $R$ es un anillo y $a,b \in R$ . ¿Cómo puedo demostrar que $(a+b)^n -a^n \in \langle \,b\,\rangle$ para todos los números naturales

$R$ no tiene por qué ser conmutativo o unital

Answer 1

Esto se puede demostrar simplemente por inducción. Se cumple trivialmente para $n = 1$ :

$(a + b) - a = b \in \langle b \rangle; \tag 1$

si

$(a + b)^k - a^k \in \langle b \rangle, \tag 2$

entonces desde $\langle b \rangle \subset R$ es un ideal,

$(a + b)((a + b)^k - a^k) \in \langle b \rangle; \tag 3$

tenemos

$(a + b)((a + b)^k - a^k) = (a + b)^{k + 1} - (a +b)a^k = (a + b)^{k + 1} - a^{k + 1} - ba^k; \tag 4$

así

$(a + b)^{k + 1} - a^{k + 1} - ba^k \in \langle b \rangle; \tag 5$

ahora desde

$ba^k \in \langle b \rangle, \tag 6$

concluimos que

$(a + b)^{k + 1} - a^{k + 1} \in \langle b \rangle \tag 7$

también.

Answer 2

Dejemos que $A = \{a,b\}$ , considerado como un alfabeto finito. Entonces, en un entorno no conmutativo, $$ (a+b)^n = \sum_{u \in A^n} u $$ Aquí $A^n$ denota el conjunto de todas las palabras de longitud $n$ . Además de $a^n$ todas estas palabras contienen al menos una ocurrencia de $b$ y así definir un elemento perteneciente al ideal generado por $b$ . De ello se desprende que $(a+b)^n -a^n$ pertenece a este ideal.