Serie Prueba de producto

Question

Demostrar que :

$$\Big(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}\Big) \Big(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n!}}\Big) = 1$$

Bueno, esto se ve fácilmente que es el producto de la Serie de Poder para $e^x$ en $x=1$ y $x=-1$ y así $${\frac{e}{e}}=1$$

Sin embargo, me pregunto cómo hacer esto directamente desde la definición de un producto.

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{{c_n}}\ $$ $$ c_n \; = \; \sum_{k=0}^{n} a_{n-k} b_{k} $$

Answer 1

$a_{n-k}b_k = \dfrac{1}{(n-k)!}\cdot \dfrac{(-1)^k}{k!} = \dfrac{1}{n!}\cdot (-1)^k\binom{n}{k} \Rightarrow \displaystyle \sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k = = \dfrac{1}{n!}\cdot (1+ (-1))^n = 0$ . ¿Puede continuar?