Relación entre el $SU(4)$ $SO(6)$

Question

Esto es más de una física de partículas pregunta de matemáticas. Desde $SO(6)$ $SU(4)$ son isomorfos, ¿cómo son los campos (digamos, por ejemplo, campos escalares de ${\mathcal{N}}=4$ Super Yang Mills en $4d$) transformar los menores de 6 dimensiones representación vectorial de $SO(6)$ relacionadas con los campos de la transformación de bajo antisimétrica 6 de $SU(4)$ ?

Answer 1

I) la existencia de la prueba que $SU(4)\cong SPIN(6)$ es por ejemplo, dados en las conferencias PG curso en la vuelta de la Geometría impartido por José Figueroa-O'Farrill, véase el Lema 8.1 en la conferencia denominada Paralelo y Matar spinors. En esta respuesta, nos centraremos en los explícitas de realización de tales Mentira grupo de isomorfismo, que OP puede encontrar útil a su pregunta acerca de la correspondiente Mentira álgebra teoría de la representación.

II)

$SL(4;\mathbb{C})$ (el doble de la cubierta de especial ortogonal grupo $SO(6;\mathbb{C})$.

Esta de la siguiente manera, en parte debido a que:

1. Hay un bijective isometría de la $6$-dimensiones complejo espacio vectorial $(\mathbb{C}^6,||\cdot||^2)$ $$ \vec{v}~=~(x^1,x^2,x^3,y^1,y^2,y^3), \qquad x^a,y^a\in \mathbb{C},\qquad a\in \{1,2,3\}, \tag{1} $$ dotado con la norma bilineal (como opuesto a sesquilinear) formulario $$||\vec{v}||^2~:=~ \sum_{a,b=1}^3 x^a \eta_{ab} x^b + \sum_{a=1}^3 y^a \eta_{ab} y^b, \qquad\eta_{ab}~=~{\rm diag}(+1,+1,+1), \tag{2} $$ y el espacio de $(so(4,\mathbb{C}),{\rm Pf}(\cdot))$ de antisimétrica compleja $4\times 4$ matrices, $$\mathbb{C}^6 ~\cong ~ so(4;\mathbb{C}) ~:=~\{A\in {\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C}) \mediados de los A^{t}= -\}, \etiqueta{3}$$ dotado de la Pfaffian $${\rm Pf}(A)~=~\frac{1}{8}\sum_{\mu\nu,\lambda\sigma=1}^4\epsilon_{\mu\nu\lambda\sigma}^{\mu\nu}^{\lambda\sigma} ~=~A^{12}^{34} + A^{31}^{24} + A^{23}^{14}~=~||\vec{v}||^2, $$ $$ \epsilon_{1234}~=~1,\tag{4}$$ si nos identificamos

$$ A^{ab}~=~\sum_{c=1}^3\epsilon^{abc} (x_c-iy_c)\qquad \Leftrightarrow\qquad x_a-iy_a ~=~\frac{1}{2}\sum_{b,c=1}^3\epsilon_{abc}^{bc} ,$$ $$ \epsilon^{123}~=~1~=~\epsilon_{123},\qquad A^{a4}~=~ x^a+iy^a, \qquad a,b,c\in \{1,2,3\}, $$ $$~=~\Left[\begin{array}{cccc} 0& x_3-iy_3 &-x_2+iy_2 & x^1+iy^1 \cr -x_3+iy_3 &0&x_1-iy_1 & x^2+iy^2 \cr x_2-iy_2 &-x_1+iy_1 & 0& x^3+iy^3 \cr -x^1-iy^1&-x^2-iy^2&-x^3-iy^3&0\end{array} \right].\la etiqueta{5} $$ Insistimos de nuevo en que la forma bilineal (2) ha indefinida de la firma debido a $x^a,y^b \in \mathbb{C}$ son en general los números complejos.

2. Hay un grupo de acción $\rho: SL(4;\mathbb{C})\times so(4;\mathbb{C}) \to so(4;\mathbb{C})$ dada por $$g\quad \mapsto\quad\rho(g)~:= ~gA g^{t}, \qquad g\SL(4;\mathbb{C})\subseteq {\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C}),$$ $$A\in so(4;\mathbb{C})\subseteq {\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C}),\tag{6} $$ cual es la longitud de la preservación de $$ {\rm Pf}(\rho(g)A)~=~{\rm Pf}(gAg^t)~=~\det(g){\rm Pf}(A)~=~{\rm Pf}(A),\tag{7}$$ es decir, $g$ es una transformación ortogonal. En otras palabras, no es una Mentira grupo homomorphism
   $$\rho: de SL(4,\mathbb{C}) \quad\a\quad O(so(4;\mathbb{C}) ,\mathbb{C})~\cong~ O(6;\mathbb{C}) , \qquad \rho(\pm {\bf 1}_{4 \times 4})~=~{\bf 1}_{(4;\mathbb{C})}.\la etiqueta{8}$$

III)

$SL(4;\mathbb{R})$ (el doble de la cubierta de) la restricción de división ortogonal de grupo $SO^+(3,3;\mathbb{R})$.

De esta manera se sigue en parte a de la Sección II mediante la restricción de las coordenadas $x^a\in\mathbb{R}$ a los números reales; las coordenadas $y^a\in i\mathbb{R}$ a los números imaginarios; y las matrices $A$ en eq. (3) a real de las matrices $$\mathbb{R}^6 ~\cong ~ so(4,\mathbb{R}) ~:=~\{A\in {\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{R}) \mediados de los A^{t}= -\}. \etiqueta{9}$$ En otras palabras, no es una Mentira grupo homomorphism $$\rho: SL(4;\mathbb{R}) \quad\a\quad O(so(4;\mathbb{R}) ;\mathbb{R})~\cong~ O(3,3;\mathbb{R}) , \qquad \rho(\pm {\bf 1}_{4 \times 4})~=~{\bf 1}_{(4;\mathbb{R})}.\la etiqueta{10}$$

IV) Vamos ahora a la dirección de OP de la pregunta (v3).

$SU(4)$ (el doble de la cubierta de especial ortogonal grupo $SO(6;\mathbb{R})$.

Esta de la siguiente manera, en parte debido a que:

1. El complejo de $6$-dimensional espacio vectorial $${\rm Re}(\mathbb{C}^6)\oplus_{\mathbb{R}} {\rm Im}(\mathbb{C}^6)~=~ \mathbb{C}^6~\cong~so(4;\mathbb{C})~=~so^{-}(4;\mathbb{C}) \oplus_{\mathbb{R}} so^{+}(4;\mathbb{C})\tag{11}$$ se divide en dos reales $6$-dimensiones de los subespacios $$\left.\begin{array}{c} {\rm Im}(\mathbb{C}^6) \cr {\rm Re}(\mathbb{C}^6) \end{array} \right\}~\cong~so^{\pm}(4;\mathbb{C})~:=~ \{ A\in so(4;\mathbb{C}) \mid *A = \pm A^{\dagger} \} \tag{12} $$ a través de un selfdual/antiselfdual-tipo de condición. Aquí la Hodge-dual se define como $$(*A)^{\mu\nu}~:=~ \frac{1}{2}\sum_{\lambda,\sigma=1}^4\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} A_{\lambda\sigma}, \qquad A_{\lambda\sigma}~:=~\sum_{\mu,\nu=1}^4 \eta_{\lambda\mu}A^{\mu\nu}\eta_{\nu\sigma},$$ $$\mu,\nu,\lambda,\sigma\in \{1,2,3,4\} , \qquad \epsilon^{1234}~=~1,\tag{13} $$ donde $$\eta_{\mu\nu}~=~{\rm diag}(+1,+1,+1,+1)\tag{14} $$ es el estándar de la forma bilineal en $\mathbb{C}^4$ para subir y bajar los índices. La Hodge-dual es una involución $$ {*}^2~=~ \det (\eta_{\mu\nu})~=~ 1.\tag{15}$$ Tenemos $$ (*A)^{ab}~=~\sum_{c=1}^3\epsilon^{abc} A_{c4} , \qquad (*A)^{a4}~=~ \frac{1}{2}\sum_{b,c=1}^3\epsilon^{abc} A_{bc}, $$ $$ a,b,c\in \{1,2,3\}, \qquad \epsilon^{123}~=~1.\tag{16}$$

2. Por lo tanto, hay una bijective isometría entre la positiva definida, real $6$dimensiones, espacio vectorial Euclídeo $({\rm Re}(\mathbb{C}^6),||\cdot||^2)$, y el espacio de $(so^{-}(4,\mathbb{C}),{\rm Pf}(\cdot))$ "antiselfdual" $4\times 4$ matrices.

3. La Mentira de grupo $SU(4)~\subseteq~ SL(4;\mathbb{C})~\subseteq~{\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C})$ es un subgrupo de $SL(4;\mathbb{C})$. Por lo tanto se puede considerar que la restricción de la acción del grupo $\rho: SL(4;\mathbb{C})\times so(4,\mathbb{C}) \to so(4;\mathbb{C})$ a sólo el $SU(4)$.

4. Los dos subespacios $so^{\pm}(4;\mathbb{C})$ son invariantes bajo (restringido) grupo de acción $\rho: SU(4)\times so(4;\mathbb{C}) \to so(4;\mathbb{C})$, $$ *(\rho(g)A) ~=~\pm (\rho(g)A)^{\daga}, \qquad g\en SU(4), \qquad\en tan^{\pm}(4;\mathbb{C}).\la etiqueta{17} $$

5. En conclusión, no es una Mentira grupo homomorphism $$\rho: SU(4) \quad\to\quad O(so^{-}(4;\mathbb{C}) ,\mathbb{R})~\cong~ O({\rm Re}(\mathbb{C}^6) ;\mathbb{R})~\cong~ O(6;\mathbb{R}) ,$$ $$\rho(\pm {\bf 1}_{4 \times 4})~=~{\bf 1}_{so^{-}(4;\mathbb{C})}.\tag{18}$$

V)

$SU(2,2)$ (el doble de la cubierta de) la Mentira de grupo $SO^+(2,4;\mathbb{R})$.

De esta manera se sigue en parte a de la Sección IV cambiando las firmas de la forma bilineal $$ \eta_{ab}~=~{\rm diag}(-1,-1,+1), \qquad \eta_{\mu\nu}~=~{\rm diag}(-1,-1,+1,+1).\la etiqueta{19} $$

VI), Ya que este post es sobre (local) isomorphisms de 15-dimensional simple Mentira grupos, nos deja para la integridad mencionar los siguientes.

$SL(2;\mathbb{H})$ (el doble de la cubierta de) el restringido grupo de Lorentz $SO^+(1,5;\mathbb{R})$.

Esta de la siguiente manera, en parte debido a que:

1. Hay una estrella álgebra monomorphism $\Phi:\mathbb{H}\to {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ dado por $$\mathbb{H}~\ni~ q~=~q^0+iq^3 +jq^2+kq^1~=~\alpha +\beta j $$ $$~~\stackrel{\Phi}{\mapsto}~~ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \cr -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix} ~=~ q^0{\bf 1}_{2\times 2}+i\sum_{a=1}^3 q^a \sigma_a~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),$$ $$\alpha~\equiv~ q^0+iq^3~\in~\mathbb{C}, \qquad \beta~\equiv~ q^2+iq^1~\in~\mathbb{C},\tag{20}$$ Definir una involución $(\cdot)^t: \mathbb{H}\to\mathbb{H}$
   $$q^t~:=~q|_{q^2\to-q^2}~:=~q^0+iq^3 -jq^2+kq^1, \qquad q~\in~\mathbb{H},\tag{21}$$ que vamos a llamar la "transposición" de cuaterniones. Tenga en cuenta que $$ \Phi(q)^{\dagger}~=~\Phi(\bar{q})\quad\text{and}\quad\Phi(q)^t~=~\Phi(q^t), \qquad q~\in~\mathbb{H}. \tag{22}$$

2. La estrella de álgebra monomorphism (20) se extiende de forma natural a una estrella de álgebra monomorphism
   $\Phi:{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{H})\to {\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C})$ (que también llamamos $\Phi$) tales que $$ \Phi(m)^{\dagger}~=~\Phi(m^{\dagger})\quad\text{and}\quad\Phi(m)^t~=~\Phi(m^t), \qquad m~\in~{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{H}). \tag{23}$$

3. No hay ninguna noción canónica de una quaternionic determinante, por lo que definimos el especial lineales grupo de quaternionic $2\times 2$ matrices como $$SL(2;\mathbb{H})~:=~\Phi^{-1}(SL(4;\mathbb{C})). \tag{24}$$

4. El conjunto de "antisimétrica" quaternionic $2\times 2$ matrices es $$so(2;\mathbb{H})~:=~\left\{ m\in{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{H}) \mid m^t=-m \right\}$$ $$~=~\left\{ \begin{pmatrix} rj & -q^t \cr q & sj \end{pmatrix} \in{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{H}) \mid r,s\in\mathbb{R}, ~q\in\mathbb{H} \right\}~=~\Phi^{-1}(so(4;\mathbb{C})), \tag{25} $$ cf. la definición anterior (21) de "transposición" de cuaterniones.

5. Comparando con la forma bilineal (2) de la Sección II, se identifica una variable real $$ x^3~=~\frac{r+s}{2}~\in~\mathbb{R} \tag{26} $$ y cinco imaginario variables $$ y^3~=~ \frac{i(r-s)}{2},\quad x^1~=~-iq^1,\quad y^1~=~-iq^2,\quad x^2~=~iq^3,\quad y^2~=~iq^0, \tag{27} $$ En otras palabras, la forma bilineal (2) restringe a $$ ||\vec{v}||^2~=~ rs-|q|^2,\qquad r,s~\in~\mathbb{R}, \qquad q~\in~\mathbb{H} ,\tag{28} $$ con la firma (1,5).

Answer 2

Los físicos utilizan dimensión para denotar las representaciones de concreto simple Mentira-grupo/Lie-álgebra, matemáticos y el uso de pesas, porque finito-dimensional irreductible representaciones son todos los de mayor peso de los módulos.

$\mathfrak{su}(4)$ es un rango de 3 Mentira álgebra de $A$ serie, es decir,$A_3$. Denotar sus raíces como $\alpha_1$, $\alpha_2$, y $\alpha_3$, y los pesos correspondientes $\omega_1$, $\omega_2$ y $\omega_3$. Menor peso de las representaciones de $\Lambda_{\omega_1}$ $\Lambda_{\omega_3}$ 4 dimensiones, y $\Lambda_{\omega_2}$ es de 6 dimensiones. Weyl dimensiones de la fórmula que da la dimensión de la representación $\Lambda_{n_1 \omega_1 + n_2 \omega_2 + n_3 \omega_3}$: $$ \dim \Lambda_{n_1 \omega_1 + n_2 \omega_2 + n_3 \omega_3} = \\ \frac{1}{12} \left(n_1+1\right) \left(n_2+1\right) \left(n_3+1\right)\left(n_1+n_2+2\right) \left(n_2+n_3+2\right) \left(n_1+n_2+n_3+3\right) $$ $\Lambda_{\omega_2}$ es la única de 6 dimensiones de la representación de $\mathfrak{su}(4)$. Peso máximo de los módulos son estables bajo la acción del grupo de Weyl $\mathcal{W}_{\mathfrak{su}(4)} \simeq S_3$, por lo que puede ser construido como una órbita de mayor peso bajo la acción del grupo de Weyl: $$ \begin{eqnarray} \Lambda_{\omega_1} &=& \{ | \omega_1 \rangle, | \omega_1-\alpha_1 \rangle, | \omega_1 -\alpha_1 - \alpha_2 \rangle, | \omega_1 - \alpha_1-\alpha_2-\alpha_3 \rangle \} \\ \Lambda_{\omega_3} &=& \{ | \omega_3 \rangle, | \omega_3-\alpha_3 \rangle, | \omega_3 -\alpha_3 - \alpha_2 \rangle, | \omega_3 - \alpha_1-\alpha_2-\alpha_3 \rangle \} \\ \Lambda_{\omega_2} &=& \{ | \omega_2 \rangle, | \omega_2 - \alpha_2 \rangle, | \omega_2 - \alpha_2 - \alpha_3 \rangle, | \omega_2 - \alpha_1 - \alpha_2 \rangle , \\ &\phantom{=}& \phantom{-} | \omega_2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 \rangle, | \omega_2 - \alpha_1 - 2 \alpha_2 - \alpha_3 \rangle \} \end{eqnarray} $$ $\mathcal{W}_{\mathfrak{su}(4)}$ es generado por tres refections $\mathcal{W}_{\mathfrak{su}(4)} = \langle w_{\alpha_1}, w_{\alpha_2}, w_{\alpha_3}\rangle$.

Las raíces de $\alpha_1$ $\alpha_3$ generar sub-álgebra $h = \mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2) \subset \mathfrak{su}(4)$. Fundamental representaciones irreducibles $\Lambda_{\omega_1}$, $\Lambda_{\omega_2}$, $\Lambda_{\omega_3}$ de $\mathfrak{su}(4)$ son reducibles en $h$. La descomposición de la $\Lambda_\omega$ en irreductible $h$-los módulos pueden ser obtenidos mediante la consideración de la órbita de mayor peso $\omega$ bajo la acción de $\mathcal{W}_h = \langle w_{\alpha_1}, w_{\alpha_3} \rangle$: $$ \begin{eqnarray} \Lambda_{\omega_1}^{\mathfrak{su}(4)} &=& \Lambda_{\omega_1 \oplus 0}^{\mathfrak{su}(2)} \oplus \Lambda_{0 \oplus \omega_3}^{\mathfrak{su}(2)} = \{ | \omega_1 \rangle, | \omega_1 - \alpha_1 \rangle \} \oplus \{ | \omega_1 -\alpha_1 - \alpha_2 \rangle, | \omega_1 - \alpha_1-\alpha_2-\alpha_3 \rangle \} \\ \Lambda_{\omega_3}^{\mathfrak{su}(4)} &=& \Lambda_{\omega_3 \oplus 0}^{\mathfrak{su}(2)} \oplus \Lambda_{0 \oplus \omega_1}^{\mathfrak{su}(2)} = \{ | \omega_3 \rangle, | \omega_3-\alpha_3 \rangle \} \oplus \{ | \omega_3 -\alpha_3 - \alpha_2 \rangle, | \omega_3 - \alpha_1-\alpha_2-\alpha_3 \rangle \} \\ \Lambda_{\omega_2}^{\mathfrak{su}(4)} &=& \Lambda_{0 \oplus 0}^{\mathfrak{su}(2)} \oplus \Lambda_{0 \oplus 0}^{\mathfrak{su}(2)} \oplus \Lambda_{3 \omega}^{\mathfrak{su}(2)} = \{ | \omega_2 \rangle \} \oplus \{ | \omega_2 - \alpha_1 - 2 \alpha_2 - \alpha_3 \rangle \} \oplus \\ &\phantom{= }& \{ | \omega_2 - \alpha_2 \rangle, | \omega_2 - \alpha_2 - \alpha_3 \rangle, | \omega_2 - \alpha_1 - \alpha_2 \rangle , | \omega_2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 \rangle \} \end{eqnarray} $$ Las 4 dimensiones del módulo se descompone con respecto a $\langle w_{\alpha_1}\rangle$ como: $$ \{ | \omega_2 - \alpha_2 \rangle, | \omega_2 - \alpha_1 - \alpha_2 \rangle \} \oplus \{ | \omega_2 - \alpha_2 - \alpha_3 \rangle, | \omega_2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 \rangle \} $$ y con respecto a $\langle w_{\alpha_3} \rangle$ como: $$ \{ | \omega_2 - \alpha_2 \rangle, | \omega_2 - \alpha_2 - \alpha_3 \rangle \} \oplus \{ | \omega_2 - \alpha_1 - \alpha_2 \rangle, | \omega_2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 \rangle \} $$

Este análisis nos dice cómo las seis dimensiones de la representación $\Lambda_{\omega_2}$ está construido. El escalares componentes corresponden a la anti-simétrica tensores de cada una de las $\mathfrak{su}(2)$ y las cuatro dimensiones de la componente corresponde a un producto directo de representaciones fundamentales. Cada uno de los elemento de los anteriores espacios vectoriales corresponde a un campo de la super de Yang-Mills teoría.

Ahora para hacer la conexión a $SO(6)$, usted necesita saber el isomorfismo con $SU(4)$, es decir, cómo Cartan-Weyl raíces de $\mathfrak{so}(6)$ se refieren a los de $\mathfrak{su}(4)$. Entonces usted necesita para encontrar el isomorfismo entre el $\Lambda_{\omega_2}$ construido anteriormente, y el $6$-dimensiones de la representación de $\mathfrak{so}(6)$.