Parametrización de esta curva

Question

$$ z = x^2 + \frac{y^2}{4}$$

He descubierto que las curvas de nivel de esta función en z = 1 es una elipse con eje mayor de longitud $2$ y la longitud del eje menor $2\sqrt{2}$ .

¿Cómo podría parametrizar esta curva en la forma

$x = x(t), y = y(t)$ ?

Answer 1

$x(t) = \cos(t)$

$y(t) = 2\sin(t)$

Esto cumple con $(\forall t) \ 1 = x(t)^2 + y(t)^2/4$ . También se puede dar la vuelta al $\sin$ y $\cos$ que cambia las coordenadas iniciales $x(0)$ y $y(0)$ pero consigue lo mismo.

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Para responder a la pregunta de filip de dónde vienen las funciones trigonométricas, déjame explicarlo con la ecuación que todo punto $(x,y)$ en un círculo (para mantener las cosas simples) cumple:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

$$\left(\frac{x}{r}\right)^2 + \left(\frac{y}{r}\right)^2 = 1$$

Geométricamente, las fracciones se relacionan con el coseno y el seno del ángulo de nuestro punto $(x,y)$ en el círculo (la intuición nos dice que un punto en un círculo se describe mejor mediante un ángulo). Así es como se suelen definir las funciones trigonométricas en la escuela:

$$\frac{x}{r} = \cos(\phi) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$\frac{y}{r} = \sin(\phi) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Y por supuesto, esto sigue cumpliendo la ecuación

$$\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi) = 1$$ Por eso las ecuaciones de círculos y elipses están estrechamente relacionadas con las funciones trigonométricas. No es la mejor explicación, pero espero que ayude.

Answer 2

Elipses de la forma

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

suelen parametrizarse mediante las ecuaciones

$$x(t)=a\sin t,\, y(t)=b\cos t.$$

Esto funciona porque

$$\frac{(a\sin t)^2}{a^2}+\frac{(b\cos t)^2}{b^2}=\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

En su caso, la parametrización sería $x(t)=\sin t,\,y(t)=2\cos t$ .