Dejemos que $K/L$ sea una extensión de Galois finita de grado $p$ , $p$ es primo ( $char \: L =p$ , $p$ es primo). Como sé $K=L(a)$ para algunos $a\in L$ . ¿Hay alguna forma de encontrar alguna restricción al elemento $b$ , de tal manera que $b=\sigma (a)$ donde $\sigma$ es un generador del grupo de Galois o $b$ puede ser un elemento arbitrario? (Sé que todos estos $b$ son raíces del polinomio mínimo de $a$ pero me encuentro en la situación de que no tengo información sobre el polinomio mínimo de $a$ . Todo lo que sé es que la extensión es galois y su grado es $p$ y $char \: L =p$ ). Gracias.
Respuesta
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La teoría de Artin-Schreier proporciona una construcción canónica de extensiones de Galois (cíclicas) $L/K$ de grado $p$ de un campo $K$ de la característica $p\neq 0$ . Definir el operador A.-S. $P$ por $P(x)=x^p -x$ . Para $\alpha\in K$ pero $\notin P(K)$ el polinomio A.-S. $X^p-X-\alpha$ es irreducible en $K[X]$ y su campo de división sobre $K$ es cíclico de grado $p$ siendo las raíces del polinomio A.-S. de la forma $a,a+1, ..., a+p-1$ (fácil). A la inversa, cualquier extensión cíclica de grado $p$ de $K$ se obtiene de esta manera (no es elemental; se trata de un análogo aditivo de la teoría de Kummer en la característica $0$ (véase, por ejemplo, "Álgebra" de S. Lang, capítulo 6, §6).
