Existencia de ideales huecos en anillos conmutativos

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con identidad. Sea $M$ ser un $R$ -y dejar que $N$ ser un $R$ -submódulo de $M$ . $N$ se denomina submódulo pequeño en $M$ si cumple la siguiente condición:

el hecho de que $M =T +N$ para algunos $R$ -submódulo $T$ implica $T = M$ . Si todo submódulo propio de $M$ es pequeño, llamamos $M$ un hueco.

Sabemos que cualquier anillo $R$ tiene un máximo ideal. Ahora quiero saber si todo anillo conmutativo tiene al menos un ideal hueco distinto de cero como un módulo $R? Si no es así, ¿bajo qué condición existe un ideal hueco?

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial, demasiado larga para un comentario.

Lema $R$ es hueco como un módulo sobre sí mismo si $R$ es local

Prueba: Si $R$ no es local, entonces dejemos que $\mathfrak{m}$ y $\mathfrak{n}$ sean ideales máximos distintos, entonces $\mathfrak{m} + \mathfrak{n} = R$ pero $\mathfrak{m},\mathfrak{n} \neq R$ Así que $R$ no es hueco.
Si $(R,\mathfrak{m})$ es local y $I$ y $J$ son ideales propios de $R$ entonces $I, J \subset \mathfrak{m}$ Así que $I+J \subset \mathfrak{m} \subsetneq R$ . Por contraposición, esto implica que $R$ es hueco.

Esto nos permite dar ejemplos de anillos sin ideales huecos:

Si $R$ es un PID, entonces $R$ tiene un ideal hueco no nulo si $R$ es local (es decir, un DVR).

Prueba: Cualquier ideal $I=(a)$ de $R$ es isomorfo como un $R$ -módulo a $R$ a través de $r \mapsto ar$ por lo que el resultado se desprende del lema anterior.

Con más esfuerzo, podemos reforzar este resultado.

Lema Si $M$ es un módulo hueco y $M$ tiene un submódulo máximo, entonces $M$ sólo tiene un submódulo maximal y $M$ es cíclico

Prueba Dejemos que $X$ sea un submódulo maximal de $M$ . Si $Y$ es otro submódulo maximal, entonces $X+Y=M$ Así que $M$ no es hueco. Así, $X$ es el único submódulo maximal. Si elegimos $a \in M \setminus X$ entonces $M=X+\langle a \rangle$ Así que $M=\langle a \rangle$

Utilizando esto, obtenemos el siguiente resultado

Si $R$ es un dominio integral noetheriano, entonces $R$ tiene un ideal hueco no nulo si $R$ es local.

Sólo queda una dirección por probar. Dejemos que $I$ sea un ideal hueco no nulo, entonces $I$ es un módulo noetheriano, por lo que $I$ tiene un submódulo maximal. Así, $I$ es cíclico por el lema anterior. Como $R$ es un dominio integral, los ideales principales son isomorfos a $R$ Así que $R$ es hueco como un módulo sobre sí mismo. Así, $R$ es local por el primer lema.

Esto da ya muchos ejemplos de anillos que no tienen ideales huecos no nulos.