Álgebra lineal Juego simple Pregunta de la matriz

Question

Estoy trabajando en un problema de Álgebra Lineal. Me han dado la estructura de un juego de ganar/perder que es el siguiente

En cada turno, estamos en una de las posiciones 1,2,3, o 4, o hemos ganado o perdido. Si estamos en la posición $W$ o $L$ Nos quedamos ahí, porque hemos ganado o perdido el partido. Si estamos en cualquiera de las posiciones 1 a 4, entonces durante ese turno nos vamos (con igual probabilidad) por una de las líneas que salen de esa posición.

Es decir, si estamos en la posición 1, entonces hay 1/4 de posibilidades de acabar en L en el siguiente turno, 1/4 de posibilidades de acabar en 2, 1/4 de posibilidades de acabar en 3 y 1/4 de posibilidades de acabar en 4. Por otro lado, si estamos en la posición 3, entonces hay 1/2 de posibilidades de acabar en la posición 1 y 1/2 de posibilidades de acabar en la posición 4 en el siguiente turno.

A continuación, se me indica que busque el $6 \times 6$ matriz de transición que nos dice cómo pasar de un turno del juego a otro. Voy a utilizar el orden de las posiciones $1,2,3,4,W,L.$

Así, sé que para una matriz de transición, cada entrada $P_{ij}$ es la probabilidad de pasar de la posición $j$ a la posición $i$ . Usando esto yo obtengo la siguiente matriz de transición,

$$ \begin{bmatrix} 0 & 1/4 & 1/2 & 1/4 & 0 & 0 \\ 1/4 & 0 & 0 & 1/4 & 0 & 0 \\ 1/4 & 0 & 0 & 1/4 & 0 &0 \\ 1/4 & 1/4 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/4 & 0 & 1/4 & 1 & 0\\ 1/4 & 1/4 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

Ahora, por ejemplo, la entrada de la fila 1, columna 2, da la probabilidad de pasar de 2 a 1, que es $1/4$ . Para las siguientes partes de la pregunta:

(b) Para cada una de las casillas 1,2,3 y 4, calcula la probabilidad de ganar si empiezas en esa casilla.

(c) ¿Qué casilla de salida tiene más posibilidades de ganar?

Entonces, ¿necesito encontrar $A^k$ , donde $A$ es la matriz de transición, para $k \to \infty$ ? Entonces, ¿introducir diferentes valores para la matriz de entrada?

Answer 1

Una cosa que aprendí sobre las matrices de transición es que cada elemento de una fila debe sumar $1$ . En su caso, las filas 5 y 6 no suman $1$ . Usted mencionó en su pregunta que si está en el estado de "GANAR" o "PERDER", no hay posibilidad de trasladarse a otros estados.

En segundo lugar, como has dicho que hay la misma posibilidad de pasar de un estado a otro en las posiciones de 1 a 4, los elementos de las otras filas deberían ser iguales. La resultante es

$$ \begin{bmatrix} 0 & \frac 14 & \frac14 & \frac 14 & 0 & \frac14 \\ \frac 14 & 0 & 0 & \frac 14 & \frac14 & \frac14 \\ \frac 12 & 0 & 0 & \frac 12 & 0 &0 \\ \frac 14 & \frac 14 & \frac14 & 0 & \frac 14 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Answer 2

EDIT: Para $j=1,2,3,4$ , dejemos que $x_j$ es la probabilidad de ganar si se empieza en la casilla $j$ . Entonces se obtienen las ecuaciones, $$\eqalign{x_1&=(1/4)(x_2+x_3+x_4)\cr x_2&=(1/4)(1+x_1+x_4)\cr x_3&=(1/2)(x_1+x_4)\cr x_4&=(1/4)(1+x_1+x_2+x_3)\cr}$$ Ahora resuelve.