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Demostrar que el mapeo U(16) a sí mismo por xx3 es un automorfismo

Demostrar que el mapeo U(16)={1,3,5,7,9,11,13,15} a sí mismo por xx3 es un automorfismo. ¿Qué pasa con xx5 y xx7 ¿alguna generalización?

Hasta ahora he probado la primera parte.

Dejemos que ψ:xx3 ,
Desde U(16) es un grupo bajo multiplicación módulo 16, por lo que U(16) es cerrado bajo mult.modulo 16. Tome cualquier x,yU(16) y que ψ(x)=ψ(y) entonces x3=y3mod(16) . Esto implica 16|(x3y3) y como x3 y y3 siempre menos de 16, entonces x=ymod(16) . Así que ψ es uno a uno. Por lo tanto, está claro que ψ también es en .

Ahora bien, como ψ(xy)=x3y3mod(16)=x3mod(16)y3mod(16)=ψ(x)ψ(y) y ψ es uno a uno y en Por lo tanto ψ es un automorfismo.

Para demostrar xx5 y xx7 , sólo tiene que utilizar el mismo paso anterior. Pero, ¿cómo generalizar?

Mi conclusión hasta ahora es que ψ:xxn donde n es impar enteros positivos son un automorfismo. Porque si tomo n=2 entonces ψ(3)=9=ψ(5) y ψ no es uno a uno.

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Oli Puntos 89

Tenga en cuenta que si x es impar, entonces por el Teorema de Euler tenemos x^8\equiv 1\pmod{16} . En efecto, por cálculo directo x^4\equiv 1\pmod{16} . Así que una vez que haya hecho x^1 y x^3 El hecho de que x^k es un automorfismo para k impar es automático.

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