Demostrar que el mapeo $U(16)$ a sí mismo por $x \rightarrow x^3$ es un automorfismo

Question

Demostrar que el mapeo $U(16) = \{{1,3,5,7,9,11,13,15}\}$ a sí mismo por $x \rightarrow x^3$ es un automorfismo. ¿Qué pasa con $x \rightarrow x^5$ y $x \rightarrow x^7$ ¿alguna generalización?

Hasta ahora he probado la primera parte.

Dejemos que $\psi : x \rightarrow x^3$ ,
Desde $U(16)$ es un grupo bajo multiplicación módulo 16, por lo que $U(16)$ es cerrado bajo mult.modulo 16. Tome cualquier $x,y \in U(16)$ y que $\psi(x) = \psi(y)$ entonces $x^3 = y^3mod(16)$ . Esto implica $16 | (x^3 - y^3)$ y como $x^3$ y $y^3$ siempre menos de 16, entonces $x = ymod( 16)$ . Así que $\psi$ es uno a uno. Por lo tanto, está claro que $\psi$ también es en .

Ahora bien, como $\psi(xy)=x^{3}y^{3}mod(16) = x^{3}mod(16)y^{3}mod(16) = \psi(x)\psi(y)$ y $\psi$ es uno a uno y en Por lo tanto $\psi$ es un automorfismo.

Para demostrar $x \rightarrow x^5$ y $x \rightarrow x^7$ , sólo tiene que utilizar el mismo paso anterior. Pero, ¿cómo generalizar?

Mi conclusión hasta ahora es que $\psi : x \rightarrow x^n$ donde $n$ es impar enteros positivos son un automorfismo. Porque si tomo $n=2$ entonces $\psi(3) = 9 = \psi(5)$ y $\psi$ no es uno a uno.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $x$ es impar, entonces por el Teorema de Euler tenemos $x^8\equiv 1\pmod{16}$ . En efecto, por cálculo directo $x^4\equiv 1\pmod{16}$ . Así que una vez que haya hecho $x^1$ y $x^3$ El hecho de que $x^k$ es un automorfismo para $k$ impar es automático.