Demostrar que el mapeo U(16)={1,3,5,7,9,11,13,15} a sí mismo por x→x3 es un automorfismo. ¿Qué pasa con x→x5 y x→x7 ¿alguna generalización?
Hasta ahora he probado la primera parte.
Dejemos que ψ:x→x3 ,
Desde U(16) es un grupo bajo multiplicación módulo 16, por lo que U(16) es cerrado bajo mult.modulo 16. Tome cualquier x,y∈U(16) y que ψ(x)=ψ(y) entonces x3=y3mod(16) . Esto implica 16|(x3−y3) y como x3 y y3 siempre menos de 16, entonces x=ymod(16) . Así que ψ es uno a uno. Por lo tanto, está claro que ψ también es en .
Ahora bien, como ψ(xy)=x3y3mod(16)=x3mod(16)y3mod(16)=ψ(x)ψ(y) y ψ es uno a uno y en Por lo tanto ψ es un automorfismo.
Para demostrar x→x5 y x→x7 , sólo tiene que utilizar el mismo paso anterior. Pero, ¿cómo generalizar?
Mi conclusión hasta ahora es que ψ:x→xn donde n es impar enteros positivos son un automorfismo. Porque si tomo n=2 entonces ψ(3)=9=ψ(5) y ψ no es uno a uno.