Todo trapecio isósceles tiene un círculo inscrito

Question

Creo que no es cierto pero no estoy seguro de ello . ¿Podemos usar el teorema de Pitot aquí? Por ejemplo, un trapezoide de base larga y catetos cortos no puede tener una circunferencia inscrita. Por favor, explique las condiciones para que un trapecio isósceles tenga una circunferencia inscrita.

Answer 1

Considera esta cifra.

Afirmo que si uno de esos trapecios tiene una circunferencia inscrita, el otro no.

Answer 2

Si un cuadrilátero tiene una circunferencia inscrita tiene que satisfacer $\overline{AB} + \overline{CD} = \overline{BC} + \overline{AD}$ . Este es el teorema de Pitot. Lo contrario también es cierto.

Dejemos que $ABCD$ sea un cuadrilátero que satisfaga $\overline{AB} + \overline{CD} = \overline{BC} + \overline{AD}$ . Si $ABCD$ es un paralelogramo entonces es un rombo, que tiene un círculo inscrito. Supongamos ahora que $\overline{BC}$ no es paralela a $\overline{AD}$ . Sea $P$ sea la intersección de la línea $\overleftrightarrow{BC}$ y $\overleftrightarrow{AD}$ . Entonces el triángulo $\triangle PCD$ tiene un círculo inscrito.

Encuentre $A'$ en el segmento $\overline{PC}$ y $B'$ en el segmento $\overline{PD}$ para que $\overline{A'B'}$ es paralelo a $\overline{AB}$ . Si varía $A'$ y $B'$ bajo esta condición, existe un único par de $\{A'_0, B'_0\}$ satisfaciendo $\overline{A'_0B'_0} + \overline{CD} = \overline{A'_0D} + \overline{B'_0C}$ y hay un único par de $\{A'_1, B'_1\}$ satisfaciendo $\overline{A'_1B'_1}$ es tangente al círculo inscrito. $\{A'_0, B'_0\}$ debe coincidir $\{A'_1, B'_1\}$ .

Answer 3

Si los lados paralelos del trapecio tienen longitudes $a$ y $b$ entonces, por consideración de las tangentes al círculo inscrito, las aristas inclinadas no paralelas tendrían que tener sus longitudes iguales a $$\frac{a+b}{2}$$