La distribución normal dividida es una función de densidad de probabilidad que consiste en dos mitades de distribuciones normales, una por debajo de la moda $\mu$ y otra por encima, con diferentes desviaciones estándar, escaladas para ser continuas. Se define como sigue:
$$s(t) = \begin{cases}t\lt\mu & A\exp\left(-\frac{\left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2_1}\right) \\ t\ge\mu & A\exp\left(-\frac{\left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2_2}\right)\end{cases}$$
donde $\sigma_1$ y $\sigma_2$ son las desviaciones típicas de los lados izquierdo y derecho, respectivamente, y $A$ (una constante utilizada para que las mitades se encuentren) es la siguiente: $$A = \frac{\sqrt{\frac{2}{\pi}}}{\sigma_1+\sigma_2}$$
Estoy tratando de encontrar la función de distribución acumulativa de dicha distribución, de la siguiente manera: $$S(x) = \int_{-\infty}^{x} s(t)dt $$
Desgraciadamente, no sé suficiente cálculo para integrar esto yo mismo, así que intenté usar Wolfram|Alpha. Sin embargo, no pude encontrar ninguna forma de introducir una función a trozos, así que hice lo posible por confiar en las reglas de integración. Mi primera idea fue convertir $S(x)$ en la siguiente forma:
$$S(x) = \begin{cases}t\lt\mu & \int_{-\infty}^t{s(t)dt} \\ t\ge\mu & \int_{-\infty}^\mu{s(t)dt} + \int_\mu^t{s(t)dt} \end{cases}$$
Sin embargo, Wolfram no pudo evaluar la anterior integral (en el tiempo asignado), por lo que tuve que reformularla en una que sí pudiera, así:
$$S(x) = \begin{cases}t\lt\mu & \int_{-\infty}^\mu{s(t)dt} - \int_t^\mu{s(t)dt} \\ t\ge\mu & \int_{-\infty}^\mu{s(t)dt} + \int_\mu^t{s(t)dt}\end{cases}$$
Creo que estos se convierten en esto cuando se evalúan (la única diferencia entre los dos son los sigmas del lado derecho):
$$S(x) = \begin{cases}t\lt\mu & 2\sigma_1 - 2\sigma_1 \mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{2}\left(u-t\right)}{2\sigma_1}\right) \\ t\ge\mu & 2\sigma_1 - 2\sigma_2 \mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{2}\left(u-t\right)}{2\sigma_2}\right)\end{cases}$$
¿Hay algún error en este proceso, o es esta la función de densidad acumulativa correcta? No tengo mucha práctica en la manipulación de integrales, así que siento que puedo estar pasando por alto algún error sutil.
