Probando $\int_a^b (1-x^4) \ dx \le b-a$ cuando $b>a$

Question

Esto es lo que hice:

$$\int_a^b (1-x^4) \ dx = x-\frac{x^5}{5}|_a^b = b-\frac{b^5}{5}-a+\frac{a^5}{5} = b-a-\left(\frac{b^5}{5}+\frac{a^5}{5}\right)$$

Si puedo demostrar que $\left(\frac{b^5}{5}+\frac{a^5}{5}\right)$ es siempre positivo, entonces puedo mostrar la desigualdad, pero no siempre es así. ¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Me parece que todo el mundo trabaja demasiado. Desde $x^4\ge 0$ Sabemos que $1-x^4\le 1$ . Por lo tanto, $$\int_a^b (1-x^4)dx \le \int_a^b 1\,dx=b-a.$$

Answer 2

Si $b-a>$ entonces $\frac{b^5}5-\frac{a^5}5>0$ . A continuación, tiene $b-a-c$ , donde $c=\frac{b^5}5-\frac{a^5}5$ . Desde $c$ es positivo, $b-a-c<b-a$ .

Answer 3

Como has dicho:

$$\int_a^b (1-x^4) \ dx = x-\frac{x^5}{5}|_a^b = b-\frac{b^5}{5}-a+\frac{a^5}{5} = b-a-\left(\frac{b^5}{5}-\frac{a^5}{5}\right)$$

Desde $b>a$ , $b^5>a^5$ y por lo tanto

$$\left(\frac{b^5}{5}-\frac{a^5}{5}\right)>0$$

así que esto es $<b-a$ .