Aplicación del teorema de aproximación de Weierstrass a las derivadas

Question

Me cuesta entender la aplicación del teorema de aproximación de Weierstrass (WAT):

Dejemos que $f \in C^1$ sea una función definida en $[-K,K]$ . El libro afirma que por cada $n$ existe un polinomio $p_n$ de manera que el $C^1$ función $g_n = f-p_n$ satisface el límite $$ \sup_{x \in [-K,K]} \big[ |g_n(x)| + |g_n'(x)| \big] < \frac{1}{n}.$$

El problema es que el polinomio $q_n$ que se obtiene aplicando el WAT a $g_n'$ no es necesariamente la derivada del polinomio $p_n$ que se obtiene aplicando el WAT a $g_n$ .

Answer 1

Aplicar el WAT a $f'$ para obtener un polinomio $q_n$ con $|f'(x)-q_n(x)|< \frac1{2nK}$ . Sea $p_n$ sea una antiderivada de $q_n$ con $p_n(0)=f(0)$ . A continuación, se establece $g_n=f-p_n$ tenemos $$|g_n'(x)| = |f'(x)-p_n'(x)|=|f'(x)-q_n(x)|< \frac1{2nK},$$ y \begin{align*} |g_n(x)| &\leq |f(x)-p_n(x)| \\ &= \left|\int_0^x (f'(t)-p_n'(t))\ dt\right|\\ &\leq \left|\int_0^x |f'(t)-p_n'(t)|\ dt\right|\\ &\leq \left|x\cdot \frac1{2nK}\right| \\ &\leq K\cdot \frac1{2nK} = \frac1{2n}. \end{align*} Por lo tanto, $$|g_n(x)|+|g_n'(x)| < \frac1{2nK}+\frac1{2n} <\frac1n$$