La mosca y su dueño

Question

Este es un problema relacionado con Adivinanza de la mosca y los dos trenes pero no debe confundirse con un duplicado.

Un hombre está dando un tranquilo paseo con su mosca mascota a un ritmo de $v_m$ . Mientras la mosca zumba a una velocidad de $v_f$ . A distancia $d$ de su casa, la mosca empieza a volar de un lado a otro entre la casa y el hombre, mientras que el dueño vuelve a caminar con velocidad $v_m$ .

En la pregunta anterior se pide la distancia total que recorrió la mosca, que (obviamente ) viene dada por $d_f = (v_f \cdot d)/v_m$ . Tenía las dos preguntas similares sobre este problema

• ¿A qué horas visita la mosca su casa?
• ¿Es posible encontrar una función / método, que tome en un tiempo $t \in [0,d/v_m]$ y devuelve la posición de vuelo?

Para la pregunta 1, he llegado a la siguiente solución

$$ \begin{align*} v_d \cdot ( t[n] - t[n-1] ) & = s - v_m \cdot t[n] \\ t[n-1] & = 2\cdot t[n-2] - t[n-3] \end{align*} $$ Con las condiciones iniciales $$ t[1] = \frac{s}{v_m} \, , \ \ t[2] = \frac{2s}{v_m+v_f} \, , \ \ t[3] = \frac{4s}{v_m+v_f} - \frac{s}{v_m} $$ Después de algunas pruebas numéricas parece que se mantiene, pero está lejos de ser una solución cerrada (la resolución de la relación de recursión conduce a un polinomio bruto de cuarto orden). ¿Existe una forma más sencilla para la respuesta?

Para la siguiente parte no tengo ni idea de por dónde empezar, ni si es posible. Cualquier idea o ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Empezando por la distancia $d$ El tiempo que tarda la mosca en volver al hombre es $$ \frac{2d}{v_f+v_m}\tag{1} $$ Por lo tanto, la distancia que recorrió la mosca es $$ \frac{2d}{v_f+v_m}v_f\tag{2} $$ Resta $d$ para obtener la distancia que la mosca tuvo que volar para volver de su casa al hombre $$ \frac{2d}{v_f+v_m}v_f-d=\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\,d\tag{3} $$ Por lo tanto, la distancia del hombre a su casa al regresar $n$ de la mosca es $$ d_n=\left(\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\right)^n\,d\tag{4} $$ La distancia total que la mosca ha recorrido de ida y vuelta $n$ es $$ \overbrace{\frac{1-\left(\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\right)^n}{1-\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}}}^{\text{$ n $ returns}}\overbrace{\vphantom{\frac{1-\left(\frac{v_f}{v_f}\right)^n}{1-\frac{v_f}{v_f}}}\left(1+\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\right)\,d}^{\text{first return}}=\frac{v_f}{v_m}\left(1-\left(\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\right)^n\right)\,d\tag{5} $$ Por lo tanto, el tiempo de retorno $n$ es $$ t_n=\frac{d}{v_m}\left(1-\left(\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\right)^n\right)\tag{6} $$ El tiempo que la mosca está en casa después del regreso $n$ es $$ \hat{t}_n=\frac{d}{v_m}\left(1-\left(\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\right)^n\right) +\frac{d}{v_f}\left(\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\right)^n\tag{7} $$ Tiempo determinado $t$ La última devolución fue $$ n_t=\left\lfloor\frac{\log\left(1-\frac{v_mt}{d}\right)}{\log\left(\frac{v_f-v_m}{v_f+v_m}\right)}\right\rfloor\tag{8} $$ y la distancia de la mosca a casa en el momento $t$ es $$ v_f\left|t-\hat{t}_{\large n_t}\right|\tag{9} $$ Ecuaciones $(7)$ , $(8)$ y $(9)$ debe responder a las dos partes de la pregunta. Es decir,

• $\hat{t}_n$ para $n=0,1,2,\dots$ son las veces que la mosca visita el hogar.

• $v_f\left|t-\hat{t}_{\large n_t}\right|$ es la distancia de la mosca al hogar en el momento $t$ .