El cuadrado de una segunda derivada es la cuarta derivada

Question

Tengo una simple pregunta para ustedes, si tengo esto:

$$\left(\frac{d^2}{{dx}^2}\right)^2$$

Es igual a esto:

$$\frac{d^4}{{dx}^4}$$

Tal que si tengo una función arbitraria $f(x)$ Puedo conseguirlo:

$$\left(\frac{d^2 f(x)}{{dx}^2}\right)^2 = \frac{d^4 f(x)}{{dx}^4}$$

Perdona si es una pregunta muy simple, pero intentaba simplificar algo así:

$$\left(a \cdot \frac{d^2}{{dx}^2} - f(x)\right)^2 g(x)$$ ahí es donde surgió.

Answer 1

Depende de lo que se entienda por "cuadrado" y es básicamente un problema de notación. Cuando se escribe $\left(\frac{d^2}{{dx}^2}\right)^2 $ , implícitamente el "cuadrado" significa que se compone el operador $\frac{d^2}{{dx}^2}$ con ella misma, es decir, se considera $\frac{d^2}{{dx}^2} \circ \frac{d^2}{{dx}^2}$ . Esto es, por supuesto, igual a $\frac{d^4}{{dx}^4}$ Diferenciar cuatro veces es lo mismo que diferenciar dos veces y luego volver a diferenciar dos veces. Aplicado a alguna función $f$ Esto da como resultado $\frac{d^2}{{dx}^2} \left( \frac{d^2 f(x)}{{dx}^2} \right) = \frac{d^4 f(x)}{{dx}^4}$ Lo cual es cierto.

Por otro lado, cuando se escribe $\left(\frac{d^2 f(x)}{{dx}^2}\right)^2$ el "cuadrado" es implícitamente una multiplicación, es decir, estás considerando $\left(\frac{d^2 f(x)}{{dx}^2}\right) \cdot \left(\frac{d^2 f(x)}{{dx}^2}\right)$ . Esto no es igual a lo primero, como muestran simples contraejemplos (por ejemplo $f(x) = x^3$ : $f''(x) = 6x$ así $(d^4f)/(dx^4)(x) = 0$ mientras que $((d^2f)/(dx^2)(x))^2 = (6x)^2 = 36x^2$ ). Así que hay que tener cuidado con las anotaciones.

Answer 2

Me temo que no. Considere calcular las dos cantidades para

$$f(x)=x^3.$$

Answer 3

No. Si $f(x) = x^4$ entonces $\frac{d^4f}{dx^4} = 24$ mientras que $\left(\frac{d^2f}{dx^2}\right)^2 = (12x^2)^2 = 144x^4$ .

Answer 4

Resulta que el primer hecho que ha citado sí es aplicable. La dificultad parece ser la confusión entre las expresiones $\left(a \cdot \frac{d^2}{{dx}^2} - f(x)\right)^2$ y $\left(a \cdot \frac{d^2}{{dx}^2} f(x)\right)^2$

La expresión entre paréntesis tiene dos términos, y se expande así:

\begin{align} \left(a \frac{d^2}{{dx}^2} - f(x)\right)^2 g(x) &= \left(a \frac{d^2}{{dx}^2} - f(x)\right) \left(a \frac{d^2}{{dx}^2} - f(x)\right) g(x) \\ &= \left(a \frac{d^2}{{dx}^2} - f(x)\right) \left(a \frac{d^2}{{dx}^2} g(x)- f(x)g(x)\right) \\ &= a \frac{d^2}{{dx}^2} \left(a \frac{d^2}{{dx}^2} g(x)- f(x)g(x)\right) - f(x)\left(a \frac{d^2}{{dx}^2} g(x)- f(x)g(x)\right) \\ &= a^2 \frac{d^4}{{dx}^4} g(x) - a \frac{d^2}{{dx}^2} \left(f(x)g(x)\right) - a f(x) \frac{d^2}{{dx}^2} g(x) + (f(x))^2 g(x) \end{align}