Productos cruzados por grupos de permutación

Question

Qué se puede decir del siguiente producto cruzado $C^*$ -¿Álgebra?

Dejemos que $A$ sea un álgebra de Kirchberg con $K_0(A) = \mathbb{Q}$ y $K_1(A) = 0$ . Consideremos la suma directa de $n$ copias de $A$ es decir $B = A^n$ . El grupo de permutación $\Sigma_n$ en $n$ las cartas actúan sobre $B$ permutando los elementos.

• ¿Qué es? $K_i(B \rtimes \Sigma_n)$ ?
• ¿El producto cruzado es simple y/o puramente infinito? ¿O incluso un álgebra de Kirchberg?

Adenda: Un álgebra de Kirchberg es unital, separable, simple, nuclear y puramente infinita.

Apéndice temporal: ¡Feliz Navidad! (bueno, casi)

Answer 1

$B\rtimes\Sigma_n$ es equivalente en Morita a $A\rtimes\Sigma_{n-1}$ con $\Sigma_{n-1}$ actuando de forma trivial. Esta última es isomorfa a $A\otimes \mathbb{C}\Sigma_{n-1}$ lo que demuestra que $B\rtimes\Sigma_n$ no es sencillo. Dejemos que $c_n$ sea el número de clases de conjugación de $\Sigma_n$ . Entonces $\mathbb{C}\Sigma_{n-1}$ es la suma directa de $c_{n-1}$ de las álgebras matriciales, por lo que por invariancia de $K_i$ bajo la invariancia de Morita tenemos $K_0(B\rtimes\Sigma_n)=\mathbb{Q}^{c_{n-1}}$