¿Por qué las funciones de Bessel del primer tipo aparecen en la siguiente transformada de Fourier bidimensional?

Question

Se da la siguiente ecuación para una función $\gamma$ :

$\gamma = \pm \delta \left[\int \frac{d^2 p}{(2\pi)^2}qp(1-\hat{q}\cdot \hat{p})^2 \pi a^2 e^{-|q-p|^2 a^2/4}\right]^{1/2}$

donde q y p son vectores bidimensionales (los sombreros significan normalización), y todo lo demás es una constante. En un artículo que estoy leyendo la expresión resultante es igual a:

$\gamma = \pm (\delta/a)\sqrt{2}\frac{1}{\zeta}\left[e^{-\zeta^2/4} \int_0^\infty du u^2 e^{-u^2/\zeta^2}[3I_0 (u) - 2I_1 (u) + I_2 (u)]\right]^{1/2}$

con $I_n$ una función de Bessel modificada del primer tipo, $\zeta = qa$ y $u$ es una variable. No sé por dónde empezar para demostrar que esto es cierto. Tengo la sensación de que usando la expresión de $I_n$ en términos de polinomios de Chebyshev es una pista para obtener $[3I_0 (u) - 2I_1 (u) + I_2 (u)]$ pero no veo cómo deshacerse del producto punto en la expresión inicial anterior. ¡La ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Escriba ambos $\mathbf q$ y $\bf p$ en coordenadas polares. Entonces se tiene $$\gamma = \pm \delta \left[\int \frac{d p d\phi_p}{(2\pi)^2}qp^2(1-\cos(\phi_q -\phi_p))^2 \pi a^2 e^{- (q^2+ p^2 -2 qp \cos(\phi_q -\phi_q)) a^2/4}\right]^{1/2}.$$ Como el integrando sólo depende de $\phi_q - \phi_p$ podemos en lugar de integrar sobre $\phi_q$ así como integrar sobre $\phi_q - \phi_p$ . La función de Bessel entra por $$\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2\pi} e^{\alpha \cos x} = I_0(\alpha)$$ $$\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2\pi} \cos x\, e^{\alpha \cos x} = I_1(\alpha)$$ $$\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2\pi} \cos^2 x\, e^{\alpha \cos x} = I_2(\alpha) + \frac{I_1(\alpha)}{\alpha}.$$