Cómo mostrar $\displaystyle a_{n}=\frac{4^{2n+1}}{n^{2n}}$ es una secuencia descendente?

Question

Tengo que demostrar que la secuencia $$a_{n}=\frac{4^{2n+1}}{n^{2n}},\qquad n\geq1$$ es descendente.

Pensé en probar $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$$

Sin embargo, como $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{16n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}}$$ No tengo ni idea de cómo podría hacer esto.

Answer 1

Usted tiene $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac4{n+1}\right)^2\left(\frac n{n+1}\right)^{2n}.$$ Está claro que esto es más pequeño que $1$ si $n>3$ . Y $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\begin{cases}1&\text{ if }n=1\\\frac{256}{729}&\text{ if }n=2\\\frac{729}{4096}&\text{ if }n=3.\end{cases}$$

Answer 2

Cuando $n>4$ entonces $$ a_n=\frac{4^{2n+1}}{n^{2n}}=4\left(\frac{4}{n}\right)^{2n}>4\left(\frac{4}{n+1}\right)^{2n}>4\left(\frac{4}{n+1}\right)^{2n+2}=a_{n+1} $$ Y, $a_1=64, a_2=64, a_3=\frac{16384}{729}<23, a_4=4, a_5=\frac{4194304}{9765625}<1$ .

Answer 3

Sugerencia: Tal vez $$\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2n} = \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{-2n} = \left[\left((1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^{-2}$$ es una secuencia conocida...

Answer 4

Tenemos \begin{eqnarray} a_1&=&4^3=64\\ a_2&=&\frac{4^5}{2^4}=64 \end{eqnarray} y para $n\ge 3$ , \begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=&\frac{4^{2n+3}\cdot n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}\cdot 4^{2n+1}}\\ &=&\frac{16}{(n+1)^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}\\ &<&\frac{16}{(3+1)^2}\cdot 1^{2b}\\ &=&1 \end{eqnarray}

es decir $a_{n+1}/a_n<1$ para $n\ge 3$ . Por tanto, la secuencia es decreciente.

Answer 5

Basta con demostrar que $$\frac{4^{2(n+1)+1}}{(n+1)^{2n+2}}\le \frac{4^{2n+1}}{n^{2n}}\iff\frac{16}{(n+1)^{2n+2}}\le \frac{1}{n^{2n}}\\16n^{2n}\le(n+1)^{2n+2}\iff 16n^{2n}\le n^{2n}(n+1)^2+(n+1)^2\sum_{k=1}\binom{2n}{k}n^{2n-k}\\16\le(n+1)^2+(n+1)^2\sum_{k=1}\binom{2n}{k}n^{-k}$$ Entonces se termina de verificar que la desigualdad es verdadera para $n=1$ y $n=2$