Prueba combinatoria de $1+2(\sum_{i=0}^n 3^i)=3^{n+1}$

Question

Tengo un cuaderno de pruebas que intento terminar desde hace un par de meses. Hay un problema en él que requiere que demuestre $1+2(\sum_{i=0}^n 3^i)=3^{n+1}$ utilizando identidades combinatorias sólo . Este problema me tiene perplejo desde hace varios días y agradecería cualquier ayuda que pudiera recibir

Answer 1

Aquí hay una solución diferente a la del enlace: considerar un torneo con $3^{n+1}$ jugadores; dividirlos en grupos de tres, con dos partidas por grupo (cada partida una eliminación), y dejar que el ganador pase a la siguiente ronda, hasta que tengamos un único ganador final del último grupo de tres. El número de partidas jugadas es el LHS (excluyendo el término -1), pero también porque cada partida elimina a un jugador, es $3^{n+1}-1$ .