Intervalo de confianza para pares de datos normales

Question

Supongamos que tenemos $\alpha_1,..\alpha_n,\beta_1,..\beta_n$ ~ $N(0,1)$ .

Definir $x_i = u_i + \sigma\alpha_i$ , $y_i = u_i + \sigma\beta_i$ , para $(\mu_1,..,\mu_n) \in \mathbb{R}^n$ , $\sigma > 0$ .

Considere el modelo $(x_1,y_1),..,(x_n,y_n)$ para ello obtenemos la función de verosimilitud que dará:

$\mu_i* = \frac{x_i+y_i}{2}$ como el estimador MLE para $\mu_i$ y $\sigma* = \frac{1}{4n}\sum^{23}_{i=1}(x_i-y_i)^2$ .

Sigue la $\mu_i*$ es imparcial para $\mu_i$ y $2\sigma*$ para $\sigma$ .

Quiero construir un $0.99$ intervalo de confianza para $\mu_i$ Suponiendo que $n=23$ ;

No estoy seguro de cuál es la forma correcta de calcular esto -

o bien $[\mu_i* \pm \frac{\sqrt{\sigma*}}{\sqrt{23}}t_{22,.975}]$

o $[\mu_i* \pm \frac{\sqrt{\sigma*}}{\sqrt{2}}t_{22,.975}]$ . Creo que esto último es correcto ya que basaríamos este IC en el Teorema del Límite Central utilizando la media de $x_i$ y $y_i$ .

Answer 1

Supongamos que tenemos $\alpha_1,..\alpha_n,\beta_1,..\beta_n$ ~ $N(0,1)$ .... Definir $x_i = u_i + \sigma\alpha_i$ , $y_i = u_i + \sigma\beta_i$ , para $(\mu_1,..,\mu_n) \in \mathbb{R}^n$ , $\sigma > 0$ ... $\sigma* = \frac{1}{4n}\sum^{23}_{i=1}(x_i-y_i)^2$ ... Quiero construir un $0.99$ intervalo de confianza para $\mu_i$ Suponiendo que $n=23$ ;

Al considerar el intervalo de confianza para $\mu_i$ Hay dos cosas que hay que tener en cuenta:

• La estimación de $\sigma$ podría estar apagado.

• Para los verdaderos $\sigma$ El resultado de $x_i - y_i$ podría estar apagado.

Consideremos el primer punto. $ x_i - y_i \sim \mathcal{N}(0, 2\sigma^2)$ . Como tal, $$ \frac{1}{2n} \sum_{i = 1}^n \left( x_i - y_i \right)^2 $$ es un estimador insesgado de media conocida para $\sigma^2$ (por qué $4n$ en su pregunta). Sin embargo, $ \frac{1}{2n} \sum_{i = 1}^n \left( x_i - y_i \right)^2 $ es a su vez una variable aleatoria, y por tanto tiene varianza. Utilizando las propiedades de las distribuciones chi-cuadrado (véase esta pregunta ), un $\epsilon$ intervalo de confianza para $2 \sigma^2$ es

$$ \left(\frac{S^2 n}{\chi^2_{1-\epsilon2}}, \frac{S^2 n}{\chi^2_{\epsilon/2}}\right). $$

Obviamente, el peor caso es el límite derecho de este intervalo. Si se introduce este valor para $2 \sigma^2$ se puede calcular un $\delta$ para la distribución normal utilizando el método habitual.

Sin embargo, hay que tener en cuenta ambas incertidumbres. Una forma de acotar la probabilidad de error sería tomar la probabilidad de error como $(1 - \epsilon) ( 1 - \delta)$ . Si busca un IC del 99%, debe utilizar $\epsilon, \delta$ , s.t. $(1 - \epsilon) ( 1 - \delta) \geq 0.99$ . Una forma de hacerlo (no necesariamente la óptima) sería tomar $\epsilon = \delta = 1 - \sqrt{0.99}$ .