Encontrar el grupo de matrices más pequeño posible que contenga una matriz dada

Question

Estoy tratando de entender el proceso para resolver preguntas de teoría de grupos.

Dejemos que $a=\begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix}$ y $b=\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}$ - Matrices de 2 x 2 con entradas complejas.

1. Describe el grupo más pequeño de matrices complejas de 2 x 2 que contienen b.
2. Describe el grupo más pequeño de matrices complejas de 2 x 2 que contienen a.

Mi respuesta:

Digamos que para la pregunta 1 - Para encontrar el grupo más pequeño debo tomar $b$ y multiplicarlo por sí mismo $n$ veces hasta obtener la matriz identidad. Y entonces la matriz identidad y la $b, b^2,..., b^n$ otras matrices será el grupo de matrices 2x2 más pequeño posible? ¿Es esa la forma correcta de hacerlo?

¿Qué pasa con la pregunta 1... multiplicando $a$ por sí mismo varias veces no va a traerme de vuelta a la identidad? Entonces, ¿cuál es el procedimiento necesario para esa pregunta?

Answer 1

Para $b$ Tiene razón.

Para $a$ Considera los dos hechos siguientes (que puedes demostrar fácilmente):

1. Para todos los enteros $n,m$ tenemos $$\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+m\\0&1\end{pmatrix}.$$
2. Para un número entero dado $n$ tenemos $$\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&-n\\0&1\end{pmatrix}.$$

A partir de esto, ¿se puede describir el subgrupo generado por $a$ ?

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Como se indica más adelante en los comentarios, tenemos un isomorfismo $$\langle\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\rangle\cong\mathbb Z,$$ que se le da al enviar su generador $a$ al elemento $1\in\mathbb Z$ . Pero para conseguir un descripción de $\langle a\rangle$ como un subgrupo del $2\times 2$ matrices complejas, observamos que los hechos anteriores implican que $$\langle a\rangle=\left\{\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}:n\in\mathbb Z\right\}.$$

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Ahora, para asegurarte de que entiendes todo esto, convéncete de que dado un número complejo $\mu\in\mathbb C$ Tenemos la siguiente descripción: $$\langle \begin{pmatrix}1&\mu\\0&1\end{pmatrix}\rangle=\left\{\begin{pmatrix}1&n\mu\\0&1\end{pmatrix}:n\in\mathbb Z\right\}.$$