Como todos los primos de Mersenne son de la forma $27x^2+4y^2$ (excepto el 3 y el 7)?

Question

Me he dado cuenta de algo interesante con los números primos de Mersenne: Se puede escribir con la forma $27x^2+4y^2$ excepto para el 3 y el 7, pero parece que funciona con todos los demás números primos de Mersenne y sus números perfectos asociados.

Otra cosa interesante: no funciona para los Números de Mersenne compuestos como 2047 o 8388607.

¿Hay alguna forma de explicarlo? No estoy seguro de cómo empezar y por lo tanto estoy buscando algunos consejos sobre cómo empezar.

Answer 1

Un primo de Mersenne es uno de la forma $m = 2^p - 1$ , buscando mod. $3$ vemos que $$m \equiv (-1)^p - 1 \equiv 1 \pmod 3$$ tan pronto como $p$ es impar. Por lo tanto, todos los primos de Mersenne (excepto el 3) son congruentes con 1 mod 3.

Ahora los primos congruentes a 1 mod 3 son precisamente los de la forma $$x^2 + 3y^2.$$ Pero además la reciprocidad cúbica da que ( https://www.math.uni-hamburg.de/home/charlton/teaching/primes_17/primes.pdf 9.3): primos de la forma $$x^2 + 27y^2$$ son aquellos que son 1 mod 3, y para los que 2 es un residuo cúbico mod el primo. Así que tenemos que demostrar que $2 \equiv t^3 \pmod m$ . Pero tenemos $$0 \equiv 2^p - 1 \pmod m$$ así que $$2^p \equiv 1 \pmod m$$ y $2$ tiene un orden coprimo a $3$ como $p=3$ se excluye, por lo tanto es una tercera potencia (gracias a Erick Wong por esta forma más bonita de decirlo :)). (Alternativamente podemos argumentar que: $$2^{p+1} \equiv 2 \pmod m$$ si $p+ 1$ es divisible por 3 entonces hemos terminado ya que 2 es el cubo de $2^{(p+1)/3}$ . De lo contrario, $p \equiv 1 \pmod 3$ como el caso de $p = 3$ es el caso excluido, en este caso $$(2^p)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod m$$ así que $$ 2^{2p + 1} \equiv 2 \pmod m$$ y ahora $2p + 1$ es divisible por 3).

Por tanto, 2 es siempre un residuo cúbico módulo de un primo de Mersenne y $m$ es de la forma $$x^2 + 27y^2.$$

Sólo tenemos que demostrar en esta expresión que $x$ está en paz.

Veamos el mod 4: Un primo de Mersenne es siempre $-1 \pmod 4$ por lo que tenemos $$x^2-y^2 \equiv -1 \pmod 4$$ Las únicas casillas mod 4 son $0$ y $1$ por lo que debemos tener $x^2 \equiv 0 \pmod 4$ y $y^2 \equiv 1 \pmod 4$ Por lo tanto $x$ es par y $y$ es impar.

Así que ahora tenemos que $$m = 4x^2 + 27y^2$$ para una elección diferente de $x$ (la mitad del original $x$ ).