Probabilidad condicional

Question

Los habitantes de Liarlandia dicen la verdad $40\%$ del tiempo. Un tercio de los habitantes tiene seis dedos en el pie derecho.

Preguntas a cuatro habitantes de Mentirolandia si el rey de Mentirolandia tiene seis dedos en el pie derecho. Todos han visto los pies del Rey, ya que éste siempre va descalzo, y todos dicen que sí.

¿Cuál es la probabilidad de que el pie derecho del Rey tenga seis dedos?

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Creo que mi línea de pensamiento está demasiado simplificada.
Desde $4$ se pregunta a la gente y hay un $40\%$ probabilidad de que digan la verdad, la probabilidad es $(.4)^4$ .

Answer 1

Dejemos que $A$ sea el caso que el rey tenga seis dedos en su pie derecho, y que $B$ sea el caso de que todos digan que sí. Queremos $\Pr(A|B)$ que por definición es igual a $\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}$ .

¿Qué es? $\Pr(B)$ ? El evento $B$ puede ocurrir de dos maneras (i) el rey tiene $6$ dedos del pie derecho, y todos dicen la verdad o (ii) el rey no tiene $6$ los dedos de su pie derecho, y todos mienten.

La probabilidad de (i) es $\frac{1}{3}\cdot (0.4)^4$ y la probabilidad de (ii) es $\frac{2}{3}\cdot (0.6)^4$ . Añade.

Ahora debería ser fácil encontrar $\Pr(A\cap B)$ y completar el cálculo de la probabilidad condicional.

Observación: En nuestro cálculo, hemos asumido que la gente miente o dice la verdad independientemente y que su decisión de mentir o decir la verdad es independiente de los hechos del rey. Por lo tanto, al responder a la pregunta, cada uno de ellos lanza una moneda adecuadamente ponderada para decidir si dice la verdad o miente. También hemos asumido, posiblemente de forma poco razonable, que la probabilidad de que el rey tiene $6$ dedos de su pie derecho es $\frac{1}{3}$ .