Después de casi siete años hace poco que empecé de nuevo a aprender matemáticas y tengo pocos agujeros en mis conocimientos de álgebra, así que pido disculpas por la pregunta de principiante.
Mi pregunta es:
¿Hay algún truco sencillo para convertir $12x^2-8x+1$ en $(2x-1)(6x-1)$ sin utilizar la ecuación cuadrática?
Y si es posible, ¿cuál es el procedimiento paso a paso?
Cuando se trata de factorizar algo de la forma $ax^2+bc+c$ donde $a$ no es ni $0$ o $1$ Un método común es el $ac$ -Método.
El primer paso es calcular el producto $ac$ y encontrar un par de factores de $ac$ que se suma a $b$ . En el caso de $12x^2-8x+1$ , fíjese que $ac =(12)(1) = 12$ . Observando los pares de factores de $12$ no es demasiado difícil ver que $(-6)(-2) =12 = ac$ y que $(-6)+(-2) = -8 =b$ .
El siguiente paso es romper el $bx$ término basado en el par de factores que encontramos. Después, hacemos lo que algunos llaman "factor por agrupación" y esto nos permitirá obtener la respuesta final:
$$12x^2-8x+1 $$ $$= 12x^2-2x-6x+1$$ $$= (12x^2-2x) + (-6x+1)$$ $$= 2x(6x-1) - 1(6x-1)$$ $$= (6x-1)(2x-1).$$
Intentemos que el primer término sea un cuadrado perfecto.... entonces el resto puede ser más fácil.
$$\begin{align} 12x^2-8x+1 &= \frac{3\cdot12x^2-3\cdot8x+3\cdot1}{3}\\ &= \frac{36x^2-4\cdot 6x+3}{3}\\ &= \color{green}{\frac{(6x)^2-4(6x)+3}{3}}\\ &= \frac{(6x-1)(6x-3)}{3}\\ &= (6x-1)\frac{(6x-3)}{3}\\ &= (6x-1)(2x-1)\\ \end{align}$$
Si esto parece demasiado confuso, intente sustituir $6x$ en el tercer paso con una variable intermedia ( $t$ por ejemplo), dando $\displaystyle\color{green}{\frac{t^2-4t+3}{3}}$ .
Escriba $x=y/12$ por lo que el polinomio se convierte en $$ 12\frac{y^2}{12^2}-\frac{8y}{12}+1= \frac{1}{12}(y^2-8y+12)=\frac{1}{12}(y-2)(y-6) $$ La descomposición de $y^2-8y+12$ se obtiene de la búsqueda de dos números cuya suma es $8$ y el producto es $12$ .
Sustitución de la espalda $y=12x$ tenemos $y-2=2(6x-1)$ y $y-6=6(6x-1)$ por lo que el denominador $12$ se anula.
Obsérvese que de este modo el coeficiente de $y$ es siempre $1$ . En general, para $a\ne0$ tenemos, fijando $y=x/a$ , $$ ax^2+bx+c=a\frac{y^2}{a^2}+\frac{by}{a}+c= \frac{1}{a}(y^2+by+ac) $$ por lo que se puede intentar el truco de "suma y producto".
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Algunas pistas podrían ser: 1 es el producto de -1 y -1. 12 es el producto de 2 y 6. Quizá puedas investigar qué es un $(ax+b)(cx+d)$ se convertiría si se multiplica. Eso sería un ejercicio de álgebra. Y luego tratar de resolver $a,b,c,d$ .
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Pero si empiezas con $12x^2-8x+1$ y quieres factorizarlo, entonces como alguien con experiencia, la forma en que yo lo resolvería es notando que $6 \cdot 2 = 12$ et $6+2 = 8$ y luego elaborar los signos para que todo encaje.