Después de casi siete años hace poco que empecé de nuevo a aprender matemáticas y tengo pocos agujeros en mis conocimientos de álgebra, así que pido disculpas por la pregunta de principiante.
Mi pregunta es:
¿Hay algún truco sencillo para convertir $12x^2-8x+1$ en $(2x-1)(6x-1)$ sin utilizar la ecuación cuadrática?
Y si es posible, ¿cuál es el procedimiento paso a paso?
Esta es una técnica que a veces se denomina ' $ac$ Método de la "mano de obra":
Las funciones cuadráticas tienen la forma $$ax^{2} + bx + c.$$ En su caso tiene $$12x^{2} - 8x + 1,$$
así que $a=12, b=-8$ y $c=1$ . El ' $ac$ El método "La vida" dice que hay que hacer lo siguiente:
Paso $1$ : Mira $ac$ y $b$ . En su caso $ac = 12\cdot 1 = 12$ y $b = -8$ .
Paso $2$ : Encuentra dos números que se multiplican para dar $ac$ y añadir para darle $b$ . En su caso sería $-2$ y $-6$ porque $(-2)(-6) = 12 = ac$ y $-2 + (-6) = -8 = b$ .
Paso $3$ : Reescribe tu cuadrática dividiendo la $bx$ parte en sus dos números:
$$12x^{2} - 8x + 1 = 12x^{2} - 6x - 2x + 1.$$
Paso $4$ : Factor.
\begin{align*} 12x^{2} - 8x + 1 &= 12x^{2} - 6x - 2x + 1\\ &=6x(2x -1) - (2x -1)\\ &=(2x-1)(6x-1). \end{align*}
Paso 1. Qué números se multiplican para dar $12$ ? (Aquí sólo hay que considerar los casos positivos porque el caso negativo acaba siendo equivalente a multiplicar todo por $-1\times-1$ )
$1, 12$ y $2, 6$ y $3, 4$
Paso 2. Qué números se multiplican para dar $1$ ?
$1, 1$ y $-1, -1$
Paso 3. Qué números se suman para dar $-8$ ?
A partir de las dos primeras líneas o trabajando sabes que el formulario será $(ax+b)(cx+d)$ donde $a, c$ son uno de los pares que se multiplican para dar $12$ y $b, d$ son uno de los pares que se multiplican para dar $1$ .
A partir de estos números, necesitas $ad+bc = -8$ . Esto significa que $b, d$ debe ser $-1$ (de lo contrario, no hay manera de obtener -8, porque los otros números son positivos).
Por lo tanto, necesita $-a-c = -8$ Así que $a=2, c=6$ .
Así, $12x^2−8x+1 = (2x-1)(6x-1)$
No estoy seguro de lo que quieres decir con "sin ecuación cuadrática", pero asumo que significa sin usar la fórmula cuadrática. Así que podemos factorizarla completando el cuadrado:
Dejemos que $f(x) = 12x^2-8x+1$ Entonces:
$f(x) = 12(x^2-\frac{8}{12}x+\frac{1}{12})=12(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{12})$
$f(x) = 12[(x-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3})^2-(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{12}]$
$f(x) = 12[(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{9}+\frac{1}{12}]$
$f(x) = 12[(x-\frac{1}{3})^2+\frac{3-4}{36}]=12[(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{36}]$
Por lo tanto, establecemos $f(x) = 0:$
$(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{36}=0\implies x=\frac{1}{3}\pm\frac{1}{6}\implies x=\frac{1}{2}\quad\text{or}\quad x=\frac{1}{6}$
Por lo tanto, $f(x) = 12(x-\frac{1}{2})(x-\frac{1}{6})=2(x-\frac{1}{2})\cdot6(x-\frac{1}{6})=(2x-1)(6x-1)$
No hay un truco sencillo que funcione siempre; si quieres algo que funcione siempre, la fórmula cuadrática es el camino a seguir. Dicho esto, el teorema de la raíz racional dice que las únicas raíces racionales posibles de tu polinomio son $\pm\frac1{r}$ , donde $r$ es un divisor de $12$ . Además, el hecho de que el término de primer grado sea el único con signo negativo significa que ambas raíces son positivas.
Luego puedes ponerte a revisar. Encontrar una de las dos raíces $\frac12$ y $\frac16$ no lleva demasiado tiempo (sólo hay que comprobar seis candidatos, y si se hace en orden, se acierta en el segundo intento). Una vez que tienes una raíz, las fórmulas de Vieta te dan la otra.
Si esta fuerza bruta falla, entonces las raíces no son racionales, y la fórmula cuadrática (o algo equivalente) es la única salida. Además, si el término constante y los coeficientes de segundo grado son demasiado grandes, el teorema de la raíz racional da demasiados candidatos, por lo que deja de ser una opción viable.
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Algunas pistas podrían ser: 1 es el producto de -1 y -1. 12 es el producto de 2 y 6. Quizá puedas investigar qué es un $(ax+b)(cx+d)$ se convertiría si se multiplica. Eso sería un ejercicio de álgebra. Y luego tratar de resolver $a,b,c,d$ .
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Pero si empiezas con $12x^2-8x+1$ y quieres factorizarlo, entonces como alguien con experiencia, la forma en que yo lo resolvería es notando que $6 \cdot 2 = 12$ et $6+2 = 8$ y luego elaborar los signos para que todo encaje.