Un conjunto cerrado es la intersección de una colección contable de conjuntos abiertos

Question

Actualmente estoy leyendo Apostol Mathematical Analysis. Había esta pregunta

Pregunta : Demostrar que un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^1$ es la intersección de una colección contable de conjuntos abiertos.

[Aquí $N_a(\varepsilon) =$ el conjunto abierto $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ ]

Mi intento : Dejemos que $A$ sea un conjunto cerrado. Sea $A^c$ denotan el complemento de $A$ . Tome $G$ sea una colección de vecindarios donde para cada $N_a(\varepsilon)\in G $ donde $a\in \mathbb{Q}\cap A^c=A'$ (Let) y $\varepsilon$ es el mínimo número real tal que $A\subseteq N_a(\varepsilon) $

Como el conjunto de los números racionales es contable, el conjunto $G$ también es contable. Por lo tanto, $$A=\bigcap_{S\in G}S$$

¿Podemos escribir la última declaración?

Answer 1

He aquí un enfoque que funciona de forma más general en cualquier espacio métrico. Como en el enunciado de la pregunta, dejaremos que $N_r(x)$ sea el conjunto de puntos cuya distancia a $x$ es menor que $r$ . Para todos los $n$ , dejemos que $$U_n = \bigcup_{a \in A} N_{1/n}(a).$$ Se trata de una unión de conjuntos abiertos y, por tanto, de un conjunto abierto. Afirmo que $$\bigcap_{n \in \Bbb{N}} U_n = A.$$ Está claro que $A \subseteq U_n$ para cada $n$ simplemente porque cada $a \in A$ pertenece a $N_{1/n}(a) \subseteq U_n$ .

Por otro lado, supongamos que $x \notin A$ . Entonces, algún barrio abierto de $x$ existe que no se cruza con $A$ es decir, hay algún $\varepsilon > 0$ tal que $N_{\varepsilon}(x) \cap A = \emptyset$ . Arreglar algunos $n$ tal que $1/n < \varepsilon$ . Si tuviéramos $x \in U_n$ , entonces algunos $a \in A$ existe tal que $x \in N_{1/n}(a)$ . Es decir, la distancia de $x$ a $a$ no es mayor que $1/n$ que es menor que $\varepsilon$ . Pero entonces $a \in N_\varepsilon(x) \cap A = \emptyset$ una contradicción. Por lo tanto, $x \notin U_n$ y por lo tanto $x \notin \bigcap_{n \in \Bbb{N}} U_n$ completando la prueba.

Answer 2

Dejemos que $C \subseteq \Bbb{R}$ sea un subconjunto cerrado, entonces $U := C^c$ es abierto y puede escribirse como una unión contable de intervalos abiertos con extremos racionales.

Según las leyes de De Morgan, eso significa $C$ es un contable intersección de rayos cerrados con puntos finales racionales.

Por tanto, basta con demostrar que cualquier rayo cerrado es una intersección contable de conjuntos abiertos. Dado que un número contable de semirrectas cerradas se cruzan para formar $C$ Entonces tendríamos que $C$ puede expresarse como una intersección contable de intersecciones contables de conjuntos abiertos, que también es una intersección contable de conjuntos abiertos.

Pero esto es realmente fácil: Si nuestra semirrecta cerrada no tiene límites por encima, es decir, de la forma $R := [a, \infty)$ para $a \in \Bbb{Q}$ entonces nuestra deseada intersección contable de conjuntos abiertos sería simplemente $$[a, \infty) = \bigcap_{n \geq 1} (a - 1/n, \infty).$$ Se puede imitar esa construcción en el caso de que la semirrecta no esté acotada por debajo para obtener el mismo resultado, que la semirrecta cerrada es una intersección contable de conjuntos abiertos. QED.

Answer 3

Una aproximación al problema.
Sea K un subconjunto cerrado de R.
Sea C la colección de componentes de K.
Cada componente es un conjunto cerrado del
forma [a,b], [- $\infty$ ,b] o [a, $\infty$ ].
Cada uno de ellos es una intersección de un número contable de conjuntos abiertos (a-1/n, b+1/n), n entero positivo.
Para cada n, sea C $_n$ sea la colección de todos aquellos intervalos abiertos definidos por n.
No K = $\cap$ { $\cup$ C $_n$ ¿n positivr intrger }?

Answer 4

Siguiendo la idea de @Rivers McForge:

Escribe cada subconjunto abierto como una unión de intervalos abiertos. Podemos escribir cualquier intervalo abierto como la unión de aquellos intervalos cerrados con puntos racionales contenidos en él. Por lo tanto toda unión de intervalos abiertos es también una unión de algunos intervalos cerrados con puntos racionales. Ahora bien, hay que tener en cuenta que sólo hay un número contable de intervalos cerrados con puntos racionales. Por tanto, todo conjunto abierto es una unión contable de intervalos cerrados.