Buscaminas probabilidad

Question

Me encontré en la situación representada en la buscaminas juego a continuación. Tenga en cuenta que la imagen es sólo una pequeña parte de toda la junta directiva.

Nota: La parte inferior derecha 1 es la esquina inferior derecha de baldosas de la junta directiva y todas las demás piezas se han marcado/se considera seguro.

Lo que sabemos:

• Hay exactamente 2 bombas en el tablero de
• Las bombas no puede ser: (A & B) || (A & C) || (B + D) || (C + D)
• Las bombas pueden ser: (A + D) || (B & C)

¿Alguien puede probar si hay una plaza(s) de que es más probable que esté seguro/inseguro o es cada cuadrado igualmente probable que esté seguro/inseguro?

Answer 1

Has correctamente inferirse que sólo hay dos posibilidades:

1. Los dos bombas en$A$$D$.
2. Los dos bombas en$B$$C$.

El sentido común indica ahora que estas dos opciones son igualmente probables. La única manera de demostrar que las dos opciones son igual de probable que requiere el conocimiento de cómo el buscaminas de la junta se ha generado. Sería en el espíritu de buscaminas si la información sobre las posiciones de las bombas sólo se podía deducir de la junta de sí mismo, y no desde el código subyacente de generación de las tablas. Así que si el buscaminas juego fue 'correctamente' codificado entonces sí, ambas opciones son igualmente probables. Pero a menos que usted nos puede dar el código de la específica buscaminas juego que estás jugando, no hay manera de demostrar tal afirmación.

Answer 2

Usted sabe

• exactamente uno de a y C es una bomba
• exactamente uno de B y D es una bomba
• exactamente un de a y B es una bomba

Así que, como usted dice, hay dos posibilidades

• A y D son bombas, mientras que B y C no son
• B y C son bombas, mientras que a y D son no

Como lo que yo puedo decir, que estos tengan la misma probabilidad de

Answer 3

He aquí un matemáticamente rigurosa prueba de la declaración:

Vamos a suponer que la junta se compone de $n$ campos de los cuales, $k$ son las minas y el campo es creado por azar la elección de $k$ números de $1$ $n$sin repeticiones. Esta es una suposición razonable, ya que el Fisher-Yates-Baraja daría una forma efectiva y fácil para crear un campo aleatorio y cada campo sería posible e igualmente probables.

Introducimos las variables aleatorias a, B, C, D, que se $1$ si el campo correspondiente tiene una mina y $0$ más. Se puede inferir la siguiente información de las posiciones de las banderas y de los números: $$A + B = A + C = B + D = 1$$

Lo que ahora queremos es calcular una probabilidad condicional: $$\begin{align*}&P(A = 1 | A + B = A + C = B + D = 1) = \frac{P(A = 1, A + B = A + C = B + D = 1)}{P(A + B = A + C = B + D = 1)} \\ &= \frac{P(A = D = 1, C = B = 0)}{P(A + B = A + C = B + D = 1)} \\ &= \frac{P(A = D = 1, C = B = 0)}{P((A = D = 1, C = B = 0) \vee (A = D = 0, C = B = 1))}\end{align*}$$

Ahora los dos eventos, $\{A = D = 1, C = B = 0\}$ $\{A = D = 0, C = B = 1\}$ son distintos, por lo que la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades. Es fácil ver que ambos tienen la misma probabilidad, es decir,${n - 4\choose k - 2}\cdot {n \choose k}^{-1}$. Desde el Evento en el numerador también tiene la misma probabilidad, esto produce $$P(A = 1 | A + B = A + C = B + D = 1) = \frac{1}{2}.$$

Así que es un 50:50 a cambiar si las bombas están en $A$ $D$ o en $B$$C$.

Answer 4

Todas son igual de propensos a ser seguro. Las restricciones dadas por los números te dicen que

1. (Exactamente) uno de A & C es una mina.
2. Uno de A & B es una mina.
3. Uno de los B & B y D es una mina.

Hay exactamente 2 configuraciones que satisfacen estas restricciones: A & D son las minas o B Y C son las minas. Suponiendo que estos son igualmente probables (probablemente una suposición razonable, pero no sé cómo buscaminas genera sus configuraciones), cada plaza tiene la mitad de una oportunidad de ser una mina. Por supuesto, este análisis se basa en la información más relevante está presente en el resto de la junta (que se parece a este segmento está en la esquina inferior izquierda? Pero no puedo asegurarlo).