Express $-a^3 b + a^3 c+ab^3-a c^3-b^3c+bc^3$ como un producto de factores lineales.

Question

Express $$-a^3 b + a^3 c+ab^3-a c^3-b^3c+bc^3$$ como un producto de factores lineales.

He intentado reescribir la expresión como $$ab^3-a^3b + a^3c-ac^3 +bc^3-b^3c$$ $$= ab(b^2-a^2)+ac(a^2-c^2)+bc(c^2-b^2)$$ $$= ab(b-a)(b+a) + ac(a-c)(a+c)+bc(c-b)(c+b)$$

Que es al menos un producto de factores lineales.

Sin embargo, ahora estoy atascado en cuanto a cómo proceder.

También preferiría el $(b^2-a^2)$ y el $(c^2-b^2)$ factores de mi segunda línea de trabajo para estar en la forma $(a^2-b^2)$ y $(b^2-c^2)$ para la "pulcritud", si es posible

Answer 1

Quizá no sea la respuesta más elegante, pero creo que es relativamente eficaz. Por ensayo y error encontramos que $a=b$ , $a=c$ y $b=c$ hacer desaparecer la expresión. Por lo tanto, la escribimos como $$\begin{align} (a-b)(a-c)(b-c)f&=(a^2b-a^2c-ab^2+ac^2+b^2c-bc^2)f\\ &=-a^3 b + a^3 c+ab^3-a c^3-b^3c+bc^3 \end{align}$$ Ahora podrías dividir un lado por el otro, o mirarlo un rato y notar que $f=(a+b+c)$ hace que funcione.

Esta táctica sólo funciona cuando lo que estás haciendo es un ejercicio de tarea, ya que puedes estar bastante seguro de que la factorización resultante será agradable y fácil, por lo que probar todas las "relaciones fáciles" te llevará bastante lejos en general.

Obsérvese que como todos los coeficientes son $1$ y esperas que la factorización sea fácil, ni siquiera sería tan descabellado intentar también $a=-b-c$ y ver lo que sale. Esto te habría dado la solución sin necesidad de hacer cálculos

Answer 2

La clave es buscar la simetría, así que escríbalo de la forma más simétrica posible: $$a^3(c-b)+b^3(a-c) +c^3(b-a).$$ Esto tiene simetría cíclica; por lo tanto, si tiene factores lineales, entonces deben ser invariantes bajo permutación cíclica de $a$ , $b$ y $c$ . Los factores tienen que incluir signos negativos, así que pruebe primero con el más sencillo: digamos $b-c$ . Poniendo $b=c$ hace que el primer término sea cero, y es fácil ver que los restantes términos también se cancelan bajo esta condición. Así que $b-c$ es un factor, y por lo tanto $c-a$ y $a-b$ también debe serlo. El factor restante tiene que ser lineal para formar el cuarteto; por lo que debe ser $\pm(a+b+c)$ que es el único factor lineal cíclicamente simétrico posible (salvo los múltiplos numéricos, porque no tenemos números distintos de $\pm1$ ). Ahora es fácil comprobar si se debe tomar el signo más o menos.

Answer 3

Verlo como un polinomio de una variable podría ayudar.

$$\begin{align}&-a^3b+a^3c+ab^3-ac^3-b^3c+bc^3\\&=(c-b)a^3+(b^3-c^3)a+bc^3-b^3c\\&=(c-b)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(c-b)(c+b)\\&=(c-b)(a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(c+b))\\&=(c-b)((-a+c)b^2+(-ac+c^2)b+a^3-ac^2)\\&=(c-b)((c-a)b^2+c(c-a)b+a(a-c)(a+c))\\&=(c-b)(c-a)(b^2+bc-a(a+c))\\&=(c-b)(c-a)((b-a)(b+a)+c(b-a))\\&=(c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)\\&=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\end{align}$$

Answer 4

El resultado debe ser $$- \left( b-c \right) \left( a-c \right) \left( a-b \right) \left( a +c+b \right) $$