Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con unidad. Tratamos de establecer la gavilla de estructura $\mathcal{O}$ en $\text{Spec}(A)$ .
Una forma de hacerlo es definir $\mathcal{O}$ como una "gavilla sobre una base distinguida" y extender la gavilla de forma única a todos los conjuntos abiertos a través de un teorema bien conocido en la teoría de gavillas. En $\text{Spec}(A)$ nuestra base distinguida es la colección de conjuntos abiertos distinguidos $D(f)$ Así, de esta manera empezar con la suposición explícita de que $\mathcal{O}(D(f)) = A_f$ y construir toda la gavilla a partir de este supuesto.
Tenga en cuenta que $D(f) \subset \text{Spec}(A)$ (con la topología del subespacio inducida por la topología de Zariski en $\text{Spec}(A)$ ) es, de hecho, homeomorfo a $\text{Spec}(A_f)$ (con la topología de Zariski en $\text{Spec}(A_f)$ ), a través del mapa de espectros inducido por el mapa $A \to A_f$ .
Esto motiva el establecimiento $\mathcal{O}(D(f)) = A_f$ . También nos permite interpretar elementos de $\mathcal{O}(D(f))$ como funciones en $\text{Spec}(A_f)$ un elemento $x \in \mathcal{O}(D(f)) \cong A_f$ mapea el punto $\mathfrak{p} \in D(f) \approx \text{Spec}(A_f)$ a $x(\mathfrak{p}) \in A_f / \mathfrak{p} A_f$ .
Aquí están los detalles, al final de los cuales volveremos al ejemplo $A = \mathbb{C}[x]$ :
Parte 1: Hojas sobre bases
Definición: Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $\mathcal{B} = \{B_i\}$ una base de conjuntos abiertos para la topología en $X$ . Hay una categoría asociada a $X$ cuyos objetos son conjuntos abiertos y cuyos morfismos son inclusiones; sea $\text{Cat}(\mathcal{B})$ denotan la subcategoría completa cuyos objetos son los elementos base de $\mathcal{B}$ .
A gavilla en la base $\{B_i\}$ es un functor $\mathcal{F} : \text{Cat}(\mathcal{B}) \to \text{Sets}$ (o grupos abelianos, o anillos, o lo que sea) que satisfagan los axiomas de identidad y encolado:
- Si $B = \bigcup_{i} B_i$ y $f, g \in \mathcal{F}(B)$ restringir a secciones iguales en cada $B_i$ entonces $f = g$ .
- Si $B = \bigcup_{i} B_i$ y $f_i \in \mathcal{F} (B_i)$ de manera que las restricciones de $f_i$ y $f_j$ a $B_i \cap B_j$ son iguales, entonces hay algún $f \in \mathcal{F}(B)$ restringiendo a $f_i$ en cada $B_i$ .
Teorema: Si $X$ es un espacio, $\mathcal{B}$ es una base, y tienes una gavilla en $\mathcal{B}$ en el sentido anterior, se extiende de forma única a una gavilla en $X$ .
Prueba: Véase el teorema 2.7.1 en Apuntes de geometría algebraica de Vakil . $\blacksquare$
Parte 2: Configuración de una gavilla en conjuntos abiertos distinguidos
Así que los conjuntos abiertos distinguidos $D(f)$ forman una base para la topología de Zariski en $\text{Spec}(A)$ . Recordemos que, explícitamente, tenemos $$D(f) = \{\mathfrak{p} \subset A \, : \, f\not\in \mathfrak{p}\} = \phi(\text{Spec}(A_f))$$ donde $\phi: \text{Spec}(A_f) \to \text{Spec}(A)$ es el mapa inducido por $A \to A_f$ .
Necesitaremos algunos hechos sobre los conjuntos abiertos distinguidos; demostrar estos hechos equivale simplemente a desentrañar el álgebra detrás de las definiciones.
Hecho 1: Para un anillo conmutativo $A$ , si $\text{Spec}(A) = \bigcup_{i \in \mathcal{I}} D(f_i)$ para algún conjunto de índices $\mathcal{I}$ entonces existe un conjunto finito $\mathcal{J} \subset \mathcal{I}$ tal que $\text{Spec}(A) = \bigcup_{j \in \mathcal{J}} D(f_j)$ . Además, el $\{f_j\}_{j \in \mathcal{J}}$ generar $A$ .
Hecho 2: Si $D(f) \subset D(g)$ entonces $f\in \sqrt{(g)}$ (recuerda: $\sqrt{I}$ denota el radical del ideal $I$ ).
Hecho 3: Para cualquier $f, g$ tenemos $D(f) \cap D(g) = D(fg)$ .
Dejemos que $\mathcal{B} = \{D(f)\}_{f \in A}$ y definir un functor $\mathcal{F} : \text{Cat}(\mathcal{B}) \to \text{Comm-Rings}$ de la siguiente manera:
- Set $\mathcal{F}(D(f)) := A_f$ .
- Para una inclusión $D(f) \subset D(g)$ , establezca que el mapa de restricción sea el mapa de localización $A_g \to (A_g)_f$ . Existe un isomorfismo canónico $(A_g)_f \cong A_f$ dado por $g^{-1} \mapsto hf^{-k}$ para algunos $h\in A$ , $k \in \mathbb{N}$ tal que $gh = f^k$ (como $h$ , $k$ existen por el Hecho 2 anterior; canónico ya que la elección de $h$ , $k$ evidentemente no importa).
Ahora, por la parte 1, tenemos que demostrar el siguiente teorema:
Teorema: La presheaf de base $\mathcal{F}$ es en realidad una gavilla de base.
Prueba (adaptada de las notas de Vakil): Debemos demostrar que se cumplen los axiomas de identidad de base y de pegado de base. Obsérvese que si podemos demostrar estos axiomas para el caso en que $B = \text{Spec}(A)$ Entonces, hemos terminado.
(¿Por qué? $D(f)$ es homeomorfo a $\text{Spec}(A_f)$ y este homeomorfismo toma un subconjunto abierto distinguido $D(g \in A) \subset D(f)$ en precisamente el subconjunto abierto distinguido $D(g \in A_f) \subset \text{Spec}(A_f)$ .)
Identidad de base:
Supongamos que $\text{Spec}(A) = \bigcup_{i \in \mathcal{I}} D(f_i)$ . A partir del hecho 1, podemos sustituir $\mathcal{I}$ con un subconjunto finito $\mathcal{J} = \{1, \cdots, n\}$ y escribir $\text{Spec}(A) = \bigcup_{j = 1}^{n} D(f_j)$ .
Supongamos que nos dan $s \in A$ tal que $s \vert_{D(f_i)} = 0$ para todos $i \in \mathcal{I}$ . En el álgebra conmutativa, esto significa que para cada $1\le j \le n$ Hay un poco de $m_j$ tal que ${f_j}^{m_j} s = 0$ en $A$ . Tomando $m = \max\{m_1, \cdots, m_n\}$ En realidad, tenemos ${f_j}^m s = 0$ para todos $1\le j \le n$ .
Ahora, desde el Hecho 1 sabemos realmente $\{f_j\}_{1\le j \le n}$ generar $A$ Por lo tanto $\{{f_j}^m \}_{1\le j \le n}$ generar $A$ (¡prueba esto!). Por lo tanto, hay $r_j \in A$ tal que $$\sum_{j=1}^{n} r_j {f_j}^m = 1.$$ Multiplicando ambos lados por $s$ da $s = 0$ .
Pegado de la base:
De nuevo, supongamos $\text{Spec}(A) = \bigcup_{i \in \mathcal{I}} D(f_i)$ . Supongamos que nos dan elementos $s_i \in \mathcal{O}(D(f_i)) = A_{f_i}$ tal que $$s_i \vert_{D(f_i) \cap D(f_j)} = s_j \vert_{D(f_i) \cap D(f_j)}.$$
¿Qué significa esta ecuación en el álgebra conmutativa? Por el hecho 3, tenemos $D(f_i) \cap D(f_j) = D(f_i f_j)$ . Escribir $s_i = a_i / {f_i}^{\ell_i}$ vemos que la ecuación se traduce en la existencia de unos $m_{ij}$ tal que $$(f_i f_j)^{m_{ij}} ({f_j}^{\ell_j} a_i - {f_i}^{\ell_i} a_j) = 0$$ en $A$ .
Ahora, supongamos que $\mathcal{I}$ es finito. Podemos entonces tomar $m = \max\{m_{ij}\}$ y escribir $${f_i}^m {f_j}^{m+\ell_j} a_i = {f_i}^{m+\ell_i} {f_j}^{m} a_j$$ en $A$ para todos $i, j$ .
Utilizando de nuevo el hecho 1, tenemos que $\{{f_i}^{m+\ell_i}\}$ genera $A$ , por lo que hay $r_i \in A$ tal que $1 = \sum r_i {f_i}^{m+\ell_i}$ . Establecer $$r:= \sum r_i {f_i}^m a_i$$ y observe que $$r {f_j}^{m+\ell_j} = \sum_{i} r_i {f_i}^m {f_j}^{m+\ell_j} a_i = \sum_{i} r_i {f_i}^{m+ \ell_i} {f_j}^m a_j = {f_j}^m a_j.$$ Así, $r \in A$ restringe a $s_i$ en $D(f_i)$ para todos $i \in \mathcal{I}$ .
Si, por el contrario, $\mathcal{I}$ es infinito: por el hecho 1, hay algún subconjunto finito $\mathcal{J}$ de manera que el $D(f_j)$ para $j \in \mathcal{J}$ portada $\text{Spec}(A)$ . Por el argumento anterior, podemos elegir algún $r \in A$ tal que $r\vert_{D(f_j)} = s_j$ para todos $j \in \mathcal{J}$ . Afirmamos que este $r$ realmente restringe como se desea incluso para los índices en $\mathcal{I} \setminus \mathcal{J}$ .
Tomar arbitrariamente $k \in \mathcal{I} \setminus \mathcal{J}$ también obtenemos algunos $r' \in A$ tal que $r' \vert_{D(f_j)} = s_j$ para todos $j \in \mathcal{J} \cup \{k\}$ . Pero por el axioma de identidad de base, $r = r'$ por lo que se deduce $r\vert_{D(f_k)} = s_k$ , según se desee. $\blacksquare$
Incluso podemos dar sentido a todo el empuje de símbolos anterior. Como menciona Vakil en sus notas, Serre describió una vez este argumento como "particiones de la unidad". Obsérvese la analogía con los argumentos de particiones de la unidad de la teoría de los colectores (si se conoce alguno).
Parte 3: Ejemplo de $A = \mathbb{C}[x]$
Consideremos $D(x) \subset \text{Spec}(\mathbb{C}[x])$ . Tenemos $\mathcal{O}(D(x)) = \mathbb{C}[x]_{(x)} \cong \mathbb{C}[x, 1/x]$ .
Considere el elemento $1/x \in \mathcal{O}(D(x))$ . Podemos pensar en esto como una "función" en $D(f) \cong \text{Spec}(\mathbb{C}[x]_{(x)})$ cuyo valor en $\mathfrak{p} \subset \mathbb{C}[x]_{(x)}$ está en el campo de los residuos $\mathbb{C}[x]_{(x)}/\mathfrak{p}\mathbb{C}[x]_{(x)}$ .
Los primos en $\mathbb{C}[x]_{(x)}$ son precisamente los ideales principales $(x-a)$ para $a \neq 0$ y la clase de residuo de $1/x$ en $\mathbb{C}[x]_{(x)}/ (x-a) \mathbb{C}[x]_{(x)}$ es $1/a$ .
