Conjunto ortonormal incontable en un espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert.

¿Por qué si $H$ tiene un conjunto ortonormal incontable $ F=\{B_i ; i\in I\} $ ¿entonces no puede tener una base contable?

Answer 1

Se puede demostrar (o considerar) lo contrario, es decir, la afirmación/el lema :

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Entonces, $H$ tiene una base ortonormal contable si y sólo si $H$ tiene un conjunto denso contable.

Para demostrarlo, anotaré algunas pistas rápidas.

En primer lugar, supongamos que $H$ tiene una base ortonormal contable $\{e_n\}$ . Entonces cualquier $x \in H$ puede escribirse de forma única como :

$$x = \sum_{n=1}^\infty \langle x,e_n\rangle e_n$$

Pero, tal $x$ puede escribirse como una combinación lineal de racionales

$$x = \sum_{n=1}^m q_ne_n$$

ya que el conjunto $\mathbb Q + \mathbb Qi$ es un subconjunto contable y denso de $\mathbb C$ .

Consideremos ahora el conjunto :

$$D_n = \bigg\{d_n = \sum_{n=1}^m q_ne_n, \; q_n \in \mathbb Q + \mathbb Qi\bigg\}$$

Entonces el conjunto $D$ definido como

$$D = \bigcup_{n=1} D_n$$

es contable como una unión de conjuntos contables.

Ahora tienes que demostrar que $D$ también es denso. Sin embargo, hay que tener en cuenta que como el

$$x = \sum_{n=1}^\infty \langle x,e_n\rangle e_n$$

converge, su serie de sumas parciales también debería converger, por lo que

$$\left\| \sum\limits_{n=N+1} \langle x,e_n\rangle e_n\right\|< \frac{\varepsilon}{2}$$

para $N \in \mathbb N$ suficientemente grande y $\varepsilon >0$ .

Tenga en cuenta que $\mathbb Q + \mathbb Qi$ no sólo es contable, sino también denso y utilizar la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Parseval para demostrar que :

$$\left\| \sum_{n=1}^\infty \langle x,e_n\rangle e_n - \sum_{n=1}^N q_ie_n \right\| < \varepsilon$$

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Para la inversa, supongamos que $H$ tiene un conjunto denso contable $\{h_j\}$ con $j \in \mathbb N$ y que $\{e_i\}$ es una base ortonormal con $i \in \mathbb N$ . Ahora, intenta llegar a una contradicción suponiendo que la base ortonormal es incontable.

Answer 2

Si $\left \{ e_n:n\in \mathbb N \right \}$ es una base ortonormal para $\mathcal H$ entonces $\left \{ \sum_{k=0}^{N}q_k+ir_k:q_k,r_k\in \mathbb Q,N\in \mathbb N \right \}$ es un subconjunto denso contable.

Si $\mathcal H$ tiene una base ortonormal incontable, digamos, $\left \{ e_{\alpha}:\alpha\in \Lambda \right \}$ y un subconjunto denso $D$ Entonces, como $\|e_{\alpha}-e_{\beta}\|^2=2$ siempre que $\alpha \neq \beta$ las pelotas $B(\alpha,\sqrt2/2)$ son disjuntos y, por tanto, como cada uno de ellos debe contener un punto $x_{\alpha}\in D$ el mapa $\alpha\to x_{\alpha}$ muestra que $D$ es incontable.

Answer 3

Ya escribí esto en un comentario bajo una respuesta pero esa respuesta fue borrada, y parece ser que esta es la respuesta más fácil, a no ser que me esté perdiendo algo básico: un conjunto de vectores ortonormales en cualquier espacio de producto interno, y por tanto también en los espacios de Hilbert, es linealmente independiente (prueba razonablemente fácil), y por tanto en tu pregunta $\;F\;$ es un conjunto lin. indpendiente, lo que significa que $\;\dim H\ge|F|\ge 2^{\aleph_0}\;$ y como todas las bases de un espacio vectorial (o espacio de Hilbert) tienen la misma cardinalidad hemos terminado.

Lo anterior sigue siendo cierto tomando cierres de vanos y demás, por lo que veo...