¿Cuál es la prima tal que es igual a la $90^{th}$ percentil de la distribución de los siniestros totales?

Question

Una empresa tiene una póliza de vida colectiva de un año de duración que divide a sus empleados en dos clases de la siguiente manera:

Clase, probabilidad de muerte, prestación, número en la clase,

A, 0.01, $20000, 1000

B, 0.03, $10000, 500

La compañía de seguros quiere cobrar una prima igual a la $90^{th}$ percentil de la distribución de los siniestros totales. Calcule esta prima.

No sé cómo enfocarlo. Estaba pensando en utilizar una aproximación separando cada clase en una distribución diferente con 1000/500 muestras cada una pero no sé qué tipo de distribuciones crearían y cuáles serían los parámetros?

Answer 1

Sospecho que su intención era utilizar una aproximación normal

• el número esperado de reclamaciones en la primera clase es $0.01 \times 1000 =10$ con la varianza $0.01 \times 0.99 \times 1000 = 9.9$ por lo que el valor esperado de las reclamaciones es $10 \times 20000 = 200000$ con la varianza $9.9 \times 20000^2 = 3960000000$

• el número esperado de reclamaciones en la primera clase es $0.03 \times 500 =15$ con la varianza $0.03 \times 0.97 \times 1000 = 14.55$ por lo que el valor esperado de las reclamaciones es $15 \times 10000 = 150000$ con la varianza $14.55 \times 10000^2 = 1455000000$

• por lo que en general el valor esperado de los siniestros es $200000+150000=350000$ con la varianza $3960000000+1455000000 = 5415000000$

• el $90$ percentil de una distribución normal estándar es de aproximadamente $1.281552$ y por lo tanto para este caso el $90$ percentil de los siniestros es de aproximadamente $350000+ 1.281552 \times \sqrt{5415000000} \approx 444305$

• Las reclamaciones reales son en múltiplos de $10000$ por lo que podría considerar redondear esto a $450000$

En este caso, podría ser posible un cálculo más preciso. Utilizando R

claims   <- outer((0:1000)*20000, (0:500)*10000, "+")  
probs    <- outer(dbinom(0:1000,1000,0.01), dbinom(0:500,500,0.03), "*")
cumprobs <- cumsum(probs[order(claims)])
claims[order(claims)][min(which(cumprobs >= 0.9))]
# 450000

Considerando que las probabilidades de que los siniestros totales reales no sean más que $444305$ o $440000$ o $450000$ daría

sum(probs[claims <= 444305]) 
# 0.89784
sum(probs[claims <= 440000]) 
# 0.89784
sum(probs[claims <= 450000]) 
# 0.9181994

por lo que la aproximación normal parece producir un resultado razonable aquí