La serie $\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{11}+\frac{4}{23}+...$

Question

Considere la expresión $\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{11}+\frac{4}{23}+...$

Denotemos el numerador y el denominador de la $j^\text{th}$ término por $N_{j}$ y $D_{j}$ respectivamente. Entonces, $N_1=1$ , $D_1=2$ y, para cada $j>1$ , $$ N_j= N_{j-1}+1\qquad D_j= 2D_{j-1}+1$$

¿Qué es la $50^\text{th}$ ¿término?

¿Debemos evaluar eso término por término hasta llegar al $50^\text{th}$ ¿término?

¿Cuál es la suma del primer $25$ ¿término?

¿Hay que añadirlos uno a uno?

¿Cuál es el valor exacto de la suma a $\infty$ ?

Answer 1

El $n^{th}$ El término es $\frac{n}{3\cdot 2^{n-1}-1}$ como se puede demostrar fácilmente por inducción. [Puedes adivinar esto simplemente mirando los dos primeros términos ya que sabes que tiene que ser de la forma $c\cdot2^n+d$ ]

$\therefore 50^{th}$ término $=\frac{50}{3\cdot 2^{49}-1}$ .

He probado todos los métodos que conozco (que incluyen la generación de funciones, el cálculo por fuerza bruta, el CAS). La suma no tiene una fórmula de forma cerrada (como ocurre con la mayoría de las sumas no triviales de convergencia rápida). Sin embargo, se puede calcular la suma con una precisión arbitraria con bastante facilidad.

Answer 2

Si $d_{j+1}=2d_j+1$ entonces $d_{j+1}+1=2(d_j+1)\Rightarrow d_n+1=(d_1+1)2^{n-1}=3\cdot2^{n-1}$ .

Así que el 50º plazo es $\frac{50}{3\cdot2^{49}-1}$

Answer 3

$D_j=2D_{j-1}+1\\\ \ \ \ =2(2D_{j-2}+1)+1\\\ \ \ \ =4D_{j-2}+1+2\\\ \ \ \ =4(2D_{j-3}+1)+1+2\\\ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\\ \ \ \ =2^kD_{j-k}+2^k-1\\\ \ \ \ =2^{j-1}D_1+2^{j-1}-1\\\ \ \ \ =3\cdot2^{j-1}-1$

$s_n=N_n/D_n=\displaystyle\frac n{3\cdot2^{n-1}-1}, n\ge1$

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$s_n<\displaystyle\frac n{3\cdot2^{n-1}-2^{n-1}}=\frac n{2^n}$

$\displaystyle\sum_1^\infty s_n<\sum_1^\infty \frac n{2^n}$ que es una serie AP-GP

$\sum_1^\infty \frac n{2^n}=\frac12+\frac24+\frac38...$

$\frac12\sum_1^\infty \frac n{2^n}=0+\frac14+\frac28+\frac3{16}...$

$\sum_1^\infty \frac n{2^n}-\frac12\sum_1^\infty \frac n{2^n}=\frac12\sum_1^\infty \frac n{2^n}=\frac12+\frac14+\frac18...=1$

$\displaystyle\implies0<\sum_1^\infty s_n<2$