¿Es 3 alguna vez una séptima potencia mod un primo $p$ si $p\equiv 1 (7)$

Question

Tenía una pregunta sobre cuándo 3 es una séptima potencia módulo de un primo $p$ si $p=1(7)$ . Sin embargo, traté de encontrar un solo ejemplo usando mathematica, pero llegué hasta primos de miles y seguí sin encontrar un ejemplo, así que empecé a pensar que era una pregunta trampa.

Estábamos aprendiendo sobre la reciprocidad cuadrática, pero no estaba seguro de cómo extender lo que habíamos aprendido sobre las potencias cuadráticas a las séptimas potencias.

Answer 1

Hay muchos trabajos clásicos sobre esta cuestión y otras relacionadas. Puede encontrar referencias a la literatura desde la introducción de la obra de Stanislav Jakubec $ $ Criterio para que 3 sea la undécima potencia, $ $ Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis (1995), Vol. 03, 1, extraído a continuación

Answer 2

$3$ no es una séptima potencia $\pmod{29}$ desde: $$ 3^{\frac{29-1}{7}}\equiv 81\equiv -6\not\equiv 1 \pmod{29}.$$ Otra forma de afirmar lo mismo es que los únicos séptimos poderes en $\mathbb{Z}_{/29\mathbb{Z}}^*$ son $\pm 1$ y $\pm 12$ .

Answer 3

Basado en lo que Jack y countinghaus dijeron, comencé a buscar primos tales que $3^{\frac{p-1}{7}}\equiv 1 (p)$ y descubrí que en realidad $p=757$ ¡funciona!

Otros que funcionan son: 1583, 1597, 2843, 2927.

Sin embargo, no estoy seguro de que esto funcione siempre.

Sé que en base a lo que dijeron, si $3$ va a ser una séptima raíz entonces $3^{\frac{p-1}{7}}\equiv 1 (p)$ debe ser cierto, pero ¿podría alguien decirme si lo contrario es cierto?