Encuentra un vector en un espacio de Hilbert, tal que el producto interior con un vector unitario es $n^{-2/3}$

Question

Estoy tratando de preparar mi examen de análisis, y estoy atascado en esta antigua pregunta de examen.

"Dejemos $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert con una base ortonormal (= sistema ortonormal máximo) $(e_n)_{n=1}^\infty$ . Demuestre que existe $g,h \in \mathcal{H}$ , de tal manera que $\langle g,e_n\rangle = \frac{1}{n^{4/3}}$ y $\langle h,e_n\rangle = \frac{1}{n^{2/3}}$ . Encuentre $\langle g,h\rangle$ ."

Las pistas que me han dado es que $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}<\infty$ para $\alpha>1$ y $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

Estoy un poco confundido sobre cómo hacer esto porque me parece que el producto interno no está definido explícitamente? ¿Cómo puedo calcularlo si no sé nada sobre cómo es el producto interior? Un amigo me dijo que debería usar la identidad de Parseval, pero no veo cómo me ayuda con este problema.

He encontrado en mi libro de texto que $\langle g,h\rangle = \sum_{n=1}^\infty \langle g,e_n\rangle \overline{\langle h,e_n\rangle}$ para todos $g,h\in\mathcal{H}$ y estoy pensando que puedo utilizar de alguna manera esta propiedad.

Answer 1

Una pista:

Dejemos que $\mathcal H$ sea un espacio de Hilbert y $\{e_n\}_{n\geq 1}$ sea un conjunto ortonormal. Si $(c_n)_{n\geq1}$ es una secuencia en $\mathbb C$ tal que $\sum_{n\geq 1}|c_n|^2\lt \infty$ entonces $\sum_{n= 1}^{\infty}c_ne_n$ existe.

Para ver esto, defina $$y_k:= \sum_{i=1}^kc_ie_i$$ para todos $k\in \mathbb N$ . Entonces $(y_k)_{k\geq 1}$ es una secuencia en $\mathcal H$ . Tenemos $$\|y_l-y_k\|^2=\left\|\sum_{i=k+1}^lc_ie_i\right\|^2 \leq \sum_{i=k+1}^l\|c_ie_i\|^2=\sum_{i=k+1}^l|c_i|^2$$ para algunos $l,k\in\mathbb N$ con $l\gt k$ . Desde $\sum_{n\geq 1}|c_n|^2\lt \infty$ la suma $\sum_{i=k+1}^l|c_i|^2$ puede hacerse arbitrariamente pequeño para un tamaño suficientemente grande $l,k\in\mathbb N$ . Así que $(y_k)_{k\geq1}$ es Cauchy en $\mathcal H$ y por lo tanto converge.

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Para empezar, considere la secuencia $\left(\frac1{n^{4/3}}\right)_{n\ge 1}.$ ¿Qué sabe usted de $$\sum_{n= 1}^{\infty}{\left(\frac1{n^{4/3}}\right)}^2 ?$$