Humor ejemplo de integración?

Question

Estaba leyendo a pesar de ser un introductorios de cálculo del libro y tiene la nota:

NOTA Cuando la integración de cocientes, no se integran en el numerador y el denominador por separado. Esto no es más válido en la integración de lo que es en la diferenciación.

Ahora que es bastante justo a punto de salir y se da un buen ejemplo. Pero por curiosidad...

Hay ejemplos de funciones de $f ,g: \Bbb R \rightarrow \Bbb R $ por el cual:

$\int \frac {f}{g} =\frac {\int f}{\int g}$.

Dicen que para mayor claridad, usted puede elegir una de las constantes en la antiderivatives, y $f \not\equiv 0$.

Me imagino que posiblemente podría ser más fácil si usted elige las integrales definidas, sólo que ninguno de primavera a la mente!

Tal vez hay un enlace a una pregunta similar aquí?

Answer 1

En los comentarios que hemos

Tenga en cuenta que por escritura $f=gh$, esto es equivalente a encontrar las funciones de $g$ $h$ tal que $\int gh=\int g\int h$.
– MPW

La diferenciación de ambos lados de $\int gh=\int g\int h$ da $$gh=g\int h +h\int g.$$ Luego se divide por $h$ para obtener $$g=g\frac{\int h}{h}+\int g.$$ Diferenciar de nuevo y reorganizar, $$g\left(1+\left[\frac{\int h}{h}\right]'\right)=g'\left(1-\left[\frac{\int h}{h}\right]\right)$$ Así que para cualquier $h$ la familia de $g$ tales que la ecuación original funciona es descrito por una ecuación diferencial. Podemos simplificar el uso de $$\left[\frac{\int h}{h}\right]'=\frac{h^2-h'\int h}{h^2}.$$ Así $$g=g'\left(\frac{h^2-h\int h}{2h^2-h'\int h}\right)$$

Answer 2

Voy a hacer algo similar a Oscar de la respuesta, pero voy a introducir los límites de integración para evitar problemas con las constantes. Comenzando con $f(x)=g(x)h(x)$, tenemos $$\int_a^x g(y) h(y)\,dy=\int_a^x g(y)\,dy \int_a^x h(y)\,dy$$ La diferenciación de ambos lados con respecto a $x$, obtenemos $$g(x)h(x)=g(x)\int_a^xh(y)\,dy+h(x)\int_a^xg(y)\,dy$$ $$\implies \frac{\int_a^x h(y)\,dy}{h(x)}=1-\frac{\int_a^x g(y)\,dy}{g(x)}$$ $$\implies\frac{h(x)}{\int_a^x h(y)\,dy}=\frac{g(x)}{g(x)-{\int_a^x g(y)\,dy}}$$ Tomando nota de que $\frac{d}{dx}\ln\left(\int_a^xh(y)\,dy\right)=\frac{h(x)}{\int_a^x h(y)\,dy}$, podemos integrar de $b$ $x$obtener $$\ln\left(\int_a^xh(y)\,dy\right)-\ln\left(\int_a^bh(y)\,dy\right)=\int_b^x{\frac{g(z)}{g(z)-{\int_a^z g(y)\,dy}}}\,dz$$ $$\implies \frac{1}{\int_a^bh(y)\,dy}\int_a^xh(y)\,dy=\exp\left(\int_b^x{\frac{g(z)}{g(z)-{\int_a^z g(y)\,dy}}}\,dz \right)$$ Diferenciando con respecto a $x$, multipying ambos lados por $g(x)$ (nota:$f(x)=g(x)h(x)$), y el establecimiento $C=\int_a^bh(y)\,dy$, obtenemos

$$f(x)=\frac{Cg(x)^2}{g(x)-{\int_a^x g(y)\,dy}}\exp\left(\int_b^x{\frac{g(z)}{g(z)-{\int_a^z g(y)\,dy}}}\,dz \right)$$

Notar sin embargo, que si $f(x)$ satisface su condición inicial en la división, lo hace cualquier múltiplo de la misma. Por lo tanto, la constante es arbitraria, y podemos concluir lo siguiente:

Para cualquier función de $g(x)$ definido en $(a,d)$, la ecuación $$\int_a^d\frac{f(x)}{g(x)}\,dx=\frac{\int_a^df(x)}{\int_a^dg(x)}\,dx$$ está satisfecho por cualquier múltiplo de la familia de funciones $$f(x)=\frac{g(x)^2}{g(x)-{\int_a^x g(y)\,dy}}\exp\left(\int_b^x{\frac{g(z)}{g(z)-{\int_a^z g(y)\,dy}}}\,dz \right) \forall \,b\in \mathbb{R}$$

Answer 3

Tomemos por ejemplo la $f(x)=e^{4x}$$g(x)=e^{2x}$.

Answer 4

El siguiente es equivalente a lo que otros han escrito, pero (creo) que mantiene la pertinente simetrías más clara.

Primero de todo, como MPW dice, escribe como $\int g\int h = \int gh$. Ahora diferenciar: $g\int h+h\int g=gh$. Dividir a través de por $gh$, produciendo $(\int g)/g+(\int h)/h=1$. Así que vamos a escribir $\varphi=g/\int g$$\psi=h/\int h$; a continuación, nuestra condición es, simplemente,$\varphi^{-1}+\psi^{-1}=1$. Y, a continuación,$g=(\exp \int\varphi)'$$h=(\exp\int\psi)'$.

Así, por ejemplo, podemos tomar $\varphi$ $\psi$ a ser constantes; llamarlos $a,b$$a^{-1}+b^{-1}=1$. A continuación, la integración de los rendimientos $ax,bx$; exponentiating rendimientos $\exp(ax),\exp(bx)$; la diferenciación de los rendimientos $a\exp(ax),b\exp(bx)$ y estos son nuestros $g,h$.

Un paso más complicado (por lo que usted podría pensar): $\varphi=1/x$$\psi=1/(1-x)$. Integrar: $\log|x|$, $\log|1-x|$. Exponentiate: $|x|$, $|1-x|$. Diferenciar: $\textrm{sign}(x)$, $\textrm{sign}(1-x)$. Esto es más o menos lo mismo que el ejemplo trivial $g=h=1$.

Otro: $\varphi=\sec^2 x$, $\psi=\csc^2 x$. Esto conduce a $g=\exp(\tan x)\sec^2x$$h=\exp(-\cot x)\csc^2x$.

Answer 5

Es fácil comprobar que, en la versión sugerida por @MPW, para $f=e^{ax}$, $g=e^{bx}$, tenemos $$ a=\frac{b}{b-1}. $$ Para $b=2$ tenemos la respuesta obtenida por el Sam.

Editar: No es un boceto, que esto es cerca de una solución general. Se denota integral por $F$, como corresponde a la constante de alguna función. Entonces tenemos $$ F(fg)=F(f)F(g). $$ Se sabe, que la solución (hasta las constantes de nuevo) $F(g)=g^a$, $a\in\bf R$. Esto significa que $g(x)=ag^{a-1}(x)g'(x)$. Es una ecuación de Bernoulli, con soluciones de la forma $Ce^{bx}$.