Prueba de hipótesis más potente para una distribución discreta dada

Question

Tengo dos distribuciones discretas. La segunda es una distribución simple en la que todos los valores del 1 al 6 (piense en tirar los dados) tienen la misma probabilidad (por lo tanto, eso debe ser $\frac{1}{6}$ ). La primera se define así: $f(6) = 0.18$ , $f(5) = 0.14$ , $\ f(4) = f(3) = f(2) = f(1) = 0.17$ . Hay dos observaciones. Necesito encontrar la prueba más potente para un nivel de significación dado (0,0196, por lo que esto indica claramente que se obtienen dos 5 seguidos, ya que $f(5)^2 = 0.0196$ ).

Sólo sé aplicar el lema de Neyman-Pearson. Primero necesito obtener el cociente de probabilidades. Ni siquiera puedo hacerlo porque no entiendo cómo construir la función de masa de probabilidad conjunta para la primera distribución, ya que no es una expresión de forma cerrada. ¿Tal vez se supone que es una especie de distribución multinomial? Pero el número de observaciones (2) es menor que el número de valores posibles (6), así que cómo funcionaría esto...

Entonces, necesito construir una prueba basada en esta razón de probabilidad: $$ \phi(x_1, x_2) = \begin{cases} 1, \lambda(x_1, x_2) > c \\ 0, \lambda(x_1, x_2) < c \\ \alpha, \lambda(x_1, x_2) = c \end{cases} $$

Y no tengo un buen conocimiento de cómo derivar $\alpha$ y $c$ . Para $c$ Necesito construir una desigualdad basada en la razón de verosimilitud y utilizar el nivel de significación de alguna manera, pero no entiendo muy bien cómo hay que hacerlo.

Answer 1

Si no has confundido nada y la distribución correspondiente a la hipótesis principal es realmente simétrica, y la distribución correspondiente a la hipótesis alternativa es asimétrica, entonces la prueba será la siguiente.

Por una sola observación, $$ \lambda(x_1)=\frac{f_2(x_1)}{f_1(x_1)}=\begin{cases}6\cdot 0.18, & x_1=6 \cr 6\cdot 0.14, & x_1=5, \cr 6\cdot 0.17, & x_1=1,2,3,4\end{cases} $$ Y para dos observaciones tenemos $$ \lambda(x_1,x_2)=\frac{f_2(x_1)f_2(x_2)}{f_1(x_1)f_1(x_2)} $$ $$=\begin{cases}36\cdot 0.18^2, & x_1=x_2=6 \cr 36\cdot 0.18\cdot 0.14, & x_1=6,x_2=5 \text{ or } x_1=5,x_2=6 \cr 36\cdot 0.14^2, & x_1=x_2=5, \cr 36\cdot 0.18\cdot 0.17, & x_1=6, x_2\in\{1,2,3,4\} \text{ or } x_2=6, x_1\in\{1,2,3,4\} \cr 36\cdot 0.17\cdot 0.14, & x_1=5, x_2\in\{1,2,3,4\} \text{ or } x_2=5, x_1\in\{1,2,3,4\}\cr 36\cdot 0.17^2, & x_1, x_2\in\{1,2,3,4\}\end{cases} $$ El mayor valor de $\lambda(x_1,x_2)$ es $36\cdot 0.18^2$ si se observan dos seises. Si consideramos la región crítica como $x_1=x_2=6$ entonces el nivel de significación de esta prueba MP es $$ \mathbb P_1 (x_1=x_2=6)=\frac{1}{36}=0.02(7) > 0.0196. $$ Por lo tanto, debemos considerar una prueba aleatoria en la que $\alpha$ es tal que el nivel de significación de la prueba es exactamente $0.0196$ : $$ \mathbb P_1(\lambda(x_1,x_2)>36\cdot 0.18^2)+\alpha\cdot \mathbb P_1(\lambda(x_1,x_2)=36\cdot 0.18^2) = 0+\alpha\cdot \frac{1}{36} = 0.0196 $$ Así que, $\alpha=36\cdot 0.0196=0.7056$

Finalmente, obtenemos la prueba más potente para un nivel de significación $0.0196$ $$ \phi(x_1,x_2)=\begin{cases} 0.7056 & x_1=x_2=6\cr 0 & \text{ other cases}\end{cases} $$

Y realmente estoy seguro de que intercambiaste las hipótesis nula y alternativa. En este caso intercambia el numerador y el denominador de $\lambda(x_1,x_2)$ y obtendrá que el mayor valor estará en $x_1=x_2=5$ . Si lo tomamos como región crítica entonces $$ \mathbb P_1(x_1=x_2=5)=0.0196 $$ según sea necesario. Obsérvese que intercambio los números de las distribuciones y ahora la primera es asimétrica. Aquí $\alpha$ en $\phi(x_1,x_2)$ es cero y $c$ es un número cualquiera que se encuentra estrictamente entre $\frac{1}{36\cdot 0.14^2}$ y $\frac{1}{36\cdot 0.14\cdot 0.17}$ . El último valor es el siguiente mayor valor de $\lambda(x_1,x_2)$ .