Calcula $\int_{B(0,2)} (xy^2+y^2z)d\mu(x,y,z)$ donde $\mu$ está definida por otra integral

Question

Tengo una medida $\mu$ se define como sigue: para cada conjunto medible a $E \subset \mathbb{R}^3$

$$\mu(E)=\int_{E \cap B(0, 1)} \sqrt{x^2+y^2+z^2}d\lambda_3(x,y,z)$$

donde $\lambda_3$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^3$ .

Tengo que calcular:

$$\int_{B(0,2)} (xy^2+y^2z)d\mu(x,y,z)$$ .

¿Es cierto que:

$$\int_{B(0,2)} (xy^2+y^2z)d\mu(x,y,z)=\int_{ B(0, 1)} (xy^2+y^2z)\sqrt{x^2+y^2+z^2}d\lambda_3(x,y,z)$$ ?

Answer 1

Sí. En general, si $\mu(E) = \int_E f \, d\nu$ (en algún espacio de medida apropiado $X$ con hipótesis de mensurabilidad adecuadas respecto a $f$ y $E$ ) se deduce más o menos directamente de la definición que $$\int_X s \, d\mu = \int_X sf \, d\nu$$ para cualquier función simple $s$ y a través de los procesos limitantes habituales que $g \in L^1(\mu)$ siempre que $g$ es medible y $gf \in L^1(\nu)$ y, además, que $$\int_X g \, d\mu = \int_X fg \, d\nu$$