¿Por qué el espacio vectorial de todas las derivaciones tiene la base $\partial/\partial{x_1} \ldots \partial/\partial{x_n}$ ?

Question

Así que he visto que se han establecido dos definiciones de espacios tangentes (con respecto a los colectores) que son equivalentes.

Pero estoy teniendo algunas dificultades para demostrar que son realmente equivalentes. Parece que se reduce a que demuestre que si $A : C^{\infty}(M) \mapsto \mathbb{R}$ es un mapa lineal tal que $A(f\cdot g)= A(f)\cdot g(P) + A(g)\cdot f(P)$ entonces A es una suma (lineal) de derivadas parciales.

He seguido el camino de demostrar que esto es cierto en los polinomios, pero no he logrado generalizar a todos los $C^{\infty}(M)$ .

¡Cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias

Answer 1

Sugerencia . Si $f\in C^\infty(\mathbb R^n)$ que tenemos:

$$ \begin{align} f(x) &= f(a) + \int_0^1 \frac d {dt} f(a + t(x - a)) dt \\ &= f(a) + \sum_{k = 1}^n (x_k - a)\int_0^1 \frac {\partial f} {\partial x_k}(a + t(x - a)) dt \\ &= f(a) + \sum_{k = 1}^n h_k(x)(x_k - a) \end{align} $$